§ 2.5. решение системы п х п с помощью обратной матрицы

§ 2.5. решение системы п х п с помощью обратной матрицы

Рассмотрим произвольную систему п линейных уравнений с п неизвестными.

В матричной записи (§ 2.2):

Ах = Ъ, (2.10)

где А — матрица и х п, х — столбец неизвестных, Ъ — столбец свободных членов.

Пусть матрица А является невырожденной. Умножим обе части

уравнения (2.10) слева на матрицу А~х. Получим

A~l(Ax) = A~lb =>{(A-lA)x = A-lb=>Ex= A-lb

или

х=А~хЪ. (2-М)

Формула (2.11) дает единственное решение системы (2.10) в случае невырожденной матрицы А.

Формулу (2.11) можно использовать для нахождения столбца х.

Однако для этого необходимо уметь находить матрицу А~ Изложенный выше способ нахождения А'1 есть, по существу, тот же метод Гаусса применительно к матрицам. Но методом Гауссаможно

решить и саму систему (2.10), не прибегая к использованию А'1. С этой точки зрения формула (2.11) становится практически бесполезной. Ее следует рассматривать как средство нахождения

матрицы А~х.

В одном из следующих параграфов (§ 2.9) мы ознакомимся

со способом нахождения матрицы /Г1, не имеющим прямого отношения к методу Гаусса. В этом случае приобретает смысл и использование формулы (2.11). Впрочем, упомянутый второй способ

нахождения А~х пригоден только при небольших значениях п (скажем, при п = 2 или 3). При п > 3 этот способ становится громоздким и трудноосуществимым. Тогда для нахождения А~х применяется все тот же метод Гаусса.

Однако существует случай, когда формула (2.11) становится эффективной, а именно, когда надо решать много систем уравнений с одной итой же матрицей системы, но с разными правыми частями. Например, так обстоит дело при рассмотрении модели Леонтьева (см. гл. 3).