§ 2.6. понятие определителя порядка п. основная теорема об определителях
§ 2.6. понятие определителя порядка п. основная теорема об определителях
Каждой квадратной матрице «хяпо определенному закону ставится в соответствие некоторое число А, называемое определителем матрицы А или просто определителем л-го порядка.
Следующие четыре параграфа посвящены определению и свойствам определителя, а также применениям определителей к различным задачам линейной алгебры.
= аи-а
Определитель 2-го порядка вводится при помощи формулы:
(2.12)
22
311 «12
h а22
а определитель 3-го порядка
а
12
*11
J21
формулой
а*. '22 °23
12 "23 "31
'13
(2.13)
'33
аи ап а3з + а,3а2і азг + а
'31 "32
-а,3 а22 а31 а,, а23 д32ап а2, а33 . Запомнить формулу (2.13) можно с помощью двух схем:
+
На левой схеме соединены линиями каждые три элемента определителя, произведение которых входит в правую часть (2.13) со знаком «+»; на правой схеме показаны произведения, входящие со знаком«-».
Чтобы подметить общую закономерность в выражениях (2.12) и (2.13) и на этой основе сформулировать определение определителя любого порядка л, необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.
Чи Чп
Рассмотрим определитель л-го порядка:
а11 а12
И1 =
Если воспользоваться понятием алгебраического дополнения, то формулы (2.12) и (2.13) можно записать в следующем виде:
А = аиАи+а12А12 (п = 2) (2.12')
A = auAli+al2Al2 + al3Ali (1 = 3) (2.13')
Равенства (2.12') и (2.13') проверяются непосредственно, поскольку при л = 2 имеем Аи = а22, АХ2 = -й2|, а при л = 3
Чг "23
= а22 Я33 ~ а23 а32-
Выделим в нем какой-то определенный элемент йц. Вычеркнем из определителя строку и столбец, в которых расположен элемент а
V
т. е. 1-ю строку и /-Й столбец. Останется некоторый определитель (п-І)-го порядка. Этот определитель называется минором элемента а(]-в определителе Аи обозначается М,у. Например, в случае определителя 4-го порядка
Ап = -Мх2 =
^13 = М13 =
аг азз
а21 а22
= °23 а31 ~а2 а33'
= а21 °32_а22 ЯЗГ
-10 3 7
2 3 7 1
0 2 3 -1
имеем
-1 0 -2—30 2
1 -1
1-1 2 4
М23 =
= -8-14+1=-21
-10 7
2-1
-1 4
Разумеется, определение минора можно признать пока только условным, поскольку само понятие определителя порядка л введено только для случаев л = 2 и л = 3.
Определение 1. Алгебраическим дополнением элемента atj
в определителе А называется число
АіГ(-рМІГ
Например,
Формулы (2.12') и (2.13') подсказывают, каким должно быть определение определителя любого порядка п.
(2.14)
Определение 2. Определителем матрицы А называется сумма произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:
А = а]ХАц+а]2А12 + + апАїпПоскольку определители 2-го и 3-го порядков уже определены, формула (2.14) позволяет находить определители 4-го порядка, затем 5-го и т. д.
Например,
| 1 | 0 | 3 | 4 | ||||||
| 5 2 | 2 3 | 1 4 | 6 5 | = | + 0Л, 2 + ЗЛ,з + 4Л, 4 | ||||
| 6 | 1 | 2 | 3 | ||||||
| 2 | 1 | 6 | 5 2 | 6 | 5 2 1 | ||||
| 3 | 4 | 5 | + 3 | -2 3 | 5 | -4 | -2 3 4 | ||
| 1 | 2 | 3 | 6 1 | 3 | 6 1 2 | ||||
48
4—1700
= -2
З 5 1 З
+ 6
З 4 1 2
4 5
+ 3
-2
+ 6
-2 5
6 З
-2 4
6 2
І -2 З
6 1
-2 З
6 1
2 3 J
■4 5
-2
+ J
3 5
1 З
З 4
1 2
= -(2-2-44-6-2) + 3(5-4-2(-36) + 6(-20)) 4(5-2-(-28)+1(-20)) = -280.
В данном выше определении определителя первая строка играет особую роль. Между тем если обратиться к выражению (2.13) для определителя 3-го порядка, то увидим, что его можно записать и в таком виде:
«21^21 + а22^гг+ «гз^гза также в виде
а31Ам+а32А32 + а33А33.
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы