§ 2.7. свойства определителей
§ 2.7. свойства определителей
Ниже речь будет идти о свойствах двоякого рода. С одной стороны, мы укажем ряд действий над определителем, которые не меняют его величины или умножают его на -1; с другой стороны, будут указаны некоторые признаки равенства определителя нулю.
Свойство 1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.
Для доказательства достаточно разложить определитель по элементам данной строки.
Свойство 2. При перестановке любых двух строк определитель умножается на-1.
Ограничимся рассмотрением определителя 3-го порядка. Возможны два случая:
1) Переставляются две соседние строки, например, первая и вторая. Положим
Это делает правдоподобной гипотезу: определитель равен произведению элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Оказывается, что такая гипотеза не только правдоподобна, но и просто верна. Справедлива следующая теорема.
Основная теорема об определителях. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, для определителя и-го порядка при любом і (і = 1, 2 , .. ., и) справедливо равенство
(2.15)
А = ап Ап + ааАі2 + ... + аіпАіп. Доказательство основной теоремы не приводится.
Равенство (2.15) называется разложением определителя по і-й строке. С его помощью нахождение определителя А и-го порядка сводится к нахождению ряда миноров, т. е. определителей (п-І)-го порядка. Каждый из последних выражается через определители (л-2)-го порядка и т. д. В целом получается все же громоздкая процедура. Однако ее можно сильно упростить, если воспользоваться знанием свойств определителей.
Д' =
«п «зі
М2 "13
Д =
221 а22 231 «32
+ а
а
*23 а33
«21 «31
"23 а33
«22 а32
Необходимо доказать, что А' = -Д. Для этого разложим определитель Д по первой строке, а Д' — по второй строке. Получим
«21 «22
а31 а32
Итак, Д' = -Д.
2) Переставляются две несоседние строки, а именно, первая и третья. Такую перестановку можно осуществить в три шага: сначала переставить первую строку со второй; затем вторую строку с третьей; наконец, снова первую строку со второй. При каждом шаге определитель умножается на -1. Так как шагов — три, т. е. нечетное число, то в итоге получаем Д' = -Д.
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
Действительно, пусть в определителе А і-я строка совпадает с 7-й. Поменяв эти строки местами, получим определитель Д', ничем не отличающийся от А, т. е. Д' = Д. С другой стороны, в силу свойства 2 должно быть Д' = -Д. Отсюда Д = -Д, т. е. Д = 0.
Свойство 4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
 |
Свойство 6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.
Например,
| «11+*«21 | ап + ка22 | «13 + /с«23 | «11 | «12 | «13 | |
| «21 | «22 | «23 | = | «21 | «22 | «23 |
| «31 | «32 | «33 | «31 | «32 | «33 |
Для доказательства применим к определителю, стоящему слева, свойство 5. Найдем, что этот определитель равен
| «и | «12 | «13 | ка2 | кап | ка2г | |
| «21 | «22 | «23 | + | «21 | «22 | «23 |
| «31 | «32 | «33 | «31 | «32 | «33 |
С в ойство 5. Если элементы некоторой строки определителя Д представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Д( и Д2. В определителе А, указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д2 — из вторых слагаемых. Остальные строки определителей Ах и Д2 — те же, что и в А.
Например,
Второй из этих определителей равен нулю, так как после вынесения за знак определителя общего множителя к элементов первой строки получается определитель с двумя одинаковыми строками.
Свойство 7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю.
Например, в случае определителя третьего порядка
«11 «12 «13
 |  | ||
| й11 +с11 | Й12 + с12 | й13 + с13 | ьг | Ь)3 | с11 | С12 | с13 | |||
| «21 | «22 | «23 | = | «21 | «22 | «23 | + | «21 | «22 | «23 |
| «31 | «32 | «33 | «31 | «32 | «33 | «31 | «32 | «33 |
Для доказательства разложим определитель, стоящий слева, по первой строке. Получим сумму
(fcn + сі і)А11 + Фп + сг>А12+ (*із + съ>Аіз или, после раскрытия скобок,
(ЪиАи +ЪпАп + ЬхгА1ъ) + (си Аи +с,2Л12 + с,з'Л,з).
Первая из этих двух сумм равна первому из определителей справа, вторая сумма равна второму определителю.
52
(2.16)
ї23Л13-0.
21 Аи + а
22 ^ 12
справедливо равенство
а
'21 *2|
Д' =
Слева стоит сумма произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам первой строки. Для доказательства (2.16) рассмотрим определитель
'22 "23
'31
который равен нулю в силу свойства 3.
Разлагая его по элементам первой строки, получим:
0 = д21 а'и + a22A'l2 + a2iA'l2,
где а'п,а'п,а'и — алгебраические дополнения для элементов первой строки в определителе Д'. Но, очевидно, что а'п=аи, А'г~Аъ А< .ъ = лм> откуда и следует равенство (2.16).
Свойство 8. Определитель матрицы а равен определителю транспонированной матрицы а т:
л = а
т. е. определитель не меняется при транспонировании. Доказательство не приводится.
Из свойства 8 следует, что любое из свойств определителя остается справедливым, если в его формулировке заменить всюду слово «строка» словом «столбец». В частности, справедлива следующая теорема-аналог основной теоремы для столбцов.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения.
Это означает, что при любом / = 1, 2, и, где и — порядок определителя, справедливо равенство
A = auAu + a2iA2i +... + ani Ani, (2.17)
называемое разложением определителя по і-му столбцу.
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы