§ 2.8. практический способ вычисления определителей

§ 2.8. практический способ вычисления определителей

Практическое вычисление определителей основано на формуле разложения определителя по строке (2.15)

л = апап+аі2аі2 + ...+аіпаіп,

или на аналогичной формуле разложения по столбцу (2.17). Последнее равенство принимает особенно простой вид, если в 1-й строке определителя все элементы равны нулю, кроме одного, скажем аг. 54 U

Тогда получаем

А = а^ = (-Га^М^.

Вычисление определителя и-го порядка а сводится к вычислению одного определителя (п1)-го порядка mtj. Хотя в наперед заданном определителе может не оказаться строки с нужным количеством нулей, тем не менее всегда можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранной по желанию строке все элементы, кроме одного, оказались нулями. Это преобразование основано на свойстве 6 § 2.7 определителя. При этом, «делая нули» в строке, следует использовать «столбцевой» вариант свойства 6, т. е. определитель не изменится, если к одному из столбцов прибавить другой, умноженный на какое угодно число. Напротив, «обнуляя» элементы столбца, используем свойство 6 § 2.7 в «строчной» формулировке.

Способ преобразования определителя к нужному виду приведен в следующем примере.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Во второй строке уже имеется один нуль, поэтому займемся именно этой строкой. Постараемся, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы во второй строке все элементы оказались равными нулю, кроме, скажем, а24 = 1 (что-то вроде «разрешающего элемента» в методе Гаусса). Для этого оперируем со столбцами: ко второму столбцу прибавляем четвертый столбец, умноженный на 2, и к третьему столбцу — четвертый, умноженный на -2. Получаем определитель

1-1 2-2

0 0 0 1

-1 0 1 -1 '

1-13 0

по-прежнему равный Д.

2+4

Д =!•(-!)

1 -1 2 -10 1. 1 -1 3

д =

1 -1 3 -10 0 1 -1 4

= (-1)Н)

Получившийся определитель 3-го порядка можно уже вычислить непосредственно, но можно и с ним поступить аналогично: к третьему столбцу прибавить первый столбец, умноженный на 1. Получим

2+1

-1 3 =-1. -1 4