§ 4.1. арифметическое точечное пространство ап

§ 4.1. арифметическое точечное пространство ап

Мы уже знакомы с понятием арифметического векторного пространства R". Элементы пространства R" — это арифметические векторы с я координатами, т. е. последовательности (Д|, а2,ал) из п чисел. Возможна, однако, и другая точка зрения на пространство R" — когда элементы R" истолковываются не как векторы, а как точки. Чтобы понять причину такой двойственности, следует учесть, что в случае обычного трехмерного пространства любой набор из трех чисел А|, а2, можно истолковать двояко:

а-Х 2а 0 А-ХЩ= 1а а-Х 0 1а 6а 9а-Х

(аиа2, аз)

вектор а

= (9а-Х)( (а-Х)2 4а2) = (9а-Х) (X2 -2аХЗа2), а характеристическое уравнение:

(9а-Х) (X2 2аХ За2) = 0. Корни этого уравнения (собственные значения):

2lj = 9а, Х2 = За, А-3 = -а. Для продуктивности А согласно теореме необходимо и достаточно, чтобы было 9а < 1, т. е. а < ^. Например, при а = получим продуктивную матрицу

А =

( 0,1 0,2 0 ^ 0,2 0,1 0 0,7 0,6 0,9

точка А

(предполагается, что в пространстве введена система координат). В соответствии с этим рассмотрим следующее определение.

Определение 1. Любую последовательность (а^,а2, ...,ап)

из п чисел будем называть арифметической точкой, а сами числа at,a2, ...,ап — координатами этой точки.

_В отличие от арифметических векторов, которые мы обозначали a, b и т. д., будем обозначать арифметические точки А, В,.... Например,

Л = (-1,6, 7,0)

— арифметическая точка, имеющая четыре координаты.

Точку (0, 0,..., 0) будем называть началом координат и обозначать О.

Определение 2. Пусть А и В — две арифметические точки с одним и тем же числом п координат:

А = (аьа2, ...,апХ В = (Ь1,Ь2, ...,Ьп).

Будем называть вектором А В арифметический вектор

(Ьгах,Ь2-а2,...,Ь-ап)

и говорить, что точка А есть начало, а точка В — конец вектора АВ.

Иначе говоря, координаты вектора АВ равны разностям между

соответствующими координатами конца и начала вектора.

Очевидно, какова бы ни была точка А, координаты вектора OA совпадают с координатами самой точки А.

Определение 3. Множество всех арифметических точек с п координатами, в котором каждым двум точкам А и В указанным выше способом сопоставлен вектор А В Є Rn, называют п-мерным

арифметическим точечным пространством и обозначают А" (п-мер-ное аффинное пространство).

Теорема. Для любых трех точек А, В, С из А" справедливо равенство

АВ + ВС = А~С.

Доказательство. Имеем:

АВ^ф^,...^^^), BC = (crbl,...,cn-bn),

Лд + ЯС = ((й,-в,Жсгй|) {Ьп-ипУг{сп-Ь^) = АС.

Одним из важнейших «геометрических» понятий, связанных с

пространством А", является операция, называемая .«откладывание вектора от точки».

Определение 4. Пусть А -(a]tап) точка из А" и

р = (Р] Р^} — вектор из В.". Отложить вектор р от точки А

означает найти такую точку В Є А", чтобы выполнялось равенство

(рис. 4.1)

АВ=р.

А

Таким образом, имеем:

ОВ = ОА + А~В = ОЛ +р

или в координатах: координаты точки В получаются из координат точки А прибавлением соответствующих координат вектора р.

Обозначение. Если точка В получена откладыванием вектора р от А, то будем писать:Д = А + р.