§ 4.3. различные виды плоскостей в пространстве ап
§ 4.3. различные виды плоскостей в пространстве ап
К числу основных «геометрических» образов в А", кроме прямых, относятся еще и плоскости. Однако если при и = 3 имеется лишь один вид плоскостей (плоскости в обычном понимании), то при и > 3 возможны плоскости различных типов: одномерные, двухмерные, трехмерные и т. д. плоскости.
о
Определение 1. Пусть к — натуральное число, X — фиксированная точка в А" и Р,Рі, гРк — фиксированный набор линейно независимых векторов из R". Множество точек X вида 0
X=X+tlpl+t2p2+ ...+tkpk . (4.5) где t,l2,...,tk — любые числа, называется k-мерной плоскостью в А".
К этому определению мы могли бы с самого начала добавить условие к < п. Действительно, в пространстве R" просто не существует линейно независимых систем векторов с числом векторов, большим,чем п. Случай к = и тоже не интересен, так как л-мерная
плоскость совпадает со всем пространством А". Действительно, если Р,р2, -чРп — линейно независимая система векторов в R", то это — базис в Л" и поэтому любой вектор/7 Є R" может быть представлен
Рис. 4.3
ті виде+ ... + tnpn. Но тогда имеем X =Х+ р, где р—любойвектор из R", т. е. X может быть любой точкой из А".
Итак, в определении /:-мерной плоскости в А" можно считать
\<к<п-1.
Особое значение имеют два вида плоскостей: одномерные (к = 1) и (и-1)-мерные (к = и-1), т. е. плоскости минимально возможной размерности и плоскости максимально возможной размерности.
Одномерные плоскости — это, очевидно, прямые в А". Плоскости размерности и-1 носят название гиперплоскостей.
Доказательство (проведем его для случая и = 3, при п > 3 рассуждения аналогичны). Итак, пусть Г — гиперплоскость в Л3, т. е. множество точек X вида
о
X=X+t{px +t2P2 , (4.6)
где векторы />| ир2 линейно независимы. Переписав равенство (4.6)
в виде
о _ _
XX=tlpl+t1p2,
~о _ _
мы видим, что векторы ХХ,р,р2 линейно зависимы. Но условием
зависимости трех векторов в Л3 является, как мы знаем, равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов. Полагая, что/>| =(а() а2, а3) и/?2 = (Рі» Рг> Р3). можем записать
Р2
Х3-Х3
о,
а,
(4.7)
Рз
Р.
(4.8)
или
Но мы привыкли к тому, что плоскость в обычном пространстве задается уравнением вида
+ а2х2 + «3x3 + Ь = О
(координаты обозначены Х,х2, х3, а нех, у, z, как обычно). Будет ли верно то же самое при любом и > 3? Оказывается, что да.
Теорема. Любая гиперплоскость в пространстве А" состоит из точек Х= (j£|, х2,хп), координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению первой степени:
а1х1+а2х2+ ... + апхп + b = О,
где й|, ...,anub — фиксированные числа, причем не все at,аправны
нулю.
96
где b -fl|X^ а2х2 03X5, что и требовалось получить.
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы