§ 6.2. угловые точки выпуклых многогранных областей

§ 6.2. угловые точки выпуклых многогранных областей: Математика в экономике, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержание курса охватывает вопросы линейной алгебры и ее приложений в экономике. В учебнике подробно изложены следующие вопросы, арифметические векторы и системы линейных уравнений, матрицы и определители, линейные экономические модели...

§ 6.2. угловые точки выпуклых многогранных областей

2

Рассмотрим выпуклую многоугольную область в А (на плоскости ). Как правило, такие области имеют вершины или, по-другому, угловые точки. Постараемся выяснить точный смысл понятия вершины.

Для области М, изображенной на рис. 6.3, точки А и В не являются вершинами, так как для каждой из этих точек имеется отрезок, проходящий через эту точку и целиком содержащийся в М. В то же время для вершины С такого отрезка найти нельзя.

Определение. Точка С выпуклой многогранной области М С А" называется вершиной, или угловой точкой области М, если не существует представления С в виде

C = sC+(i-s)C2,

где С, Є М, С2 Є М и 0 < s < 1.

Возникает вопрос о практическом способе нахождения вершин.

Непосредственно ясно, что в случае многоугольной области в А1 (на плоскости) для любой вершины С найдутся две граничные прямые, проходящие через С, для которых С является их единственной общей точкой, а в случае выпуклой многогранной области в А* для любой вершины С найдутся три граничные плоскости с единственной общей точкой С (рис. 6.4, где через вершину С пирамиды М проходят четыре граничные плоскости, но любых трех из них достаточно, чтобы точка С была их единственной общей точкой).

Отсюда напрашивается следующий способ нахождения вершин, который мы примем без строгого обоснования.

Способ нахождения вершин выпуклой многогранной области

Пусть область М С Ап задана с помощью системы линейных неравенств. Выберем какие-либо п из этих неравенств и заменим их равенствами. Получим систему из п линейных уравнений с п неизвестными. Если эта система имеет единственное решение X, причем X Є М, то X — вершина области М. Таким путем могут быть получены все вершины М.

Пример. Область М С А задана системой

Зх, + 10л:2 < 60 4jc, + 5хг < 60 .

я, >0, х2>0

Найдем вершины М.

Заменяя каждую пару неравенств уравнениями, получаем шесть систем:

= о,

х2= 0,

j Зх, + 10x2 = 60 j Зх, + 10х2 = 60 {Зх, -г10х2 = 60

4xi + 5х2 = 60,

х2= 0

= о,

4х, + 5х2 =60 4х, + 5х2 = 60

х2= 0,

Каждая из этих систем имеет единственное решение:

(12, ^), (0, 6), (20, 0), (0, 12), (15, 0), (0, 0).

Однако из шести полученных точек две точки не принадлежат М: (20, 0) и (0, 12). Остальные четыре точки: (12, у), (0, 6), (15, 0), (0, 0) являются вершинами М. Изображение области М дано на рис. 6.5.

Математика в экономике

Математика в экономике

Обсуждение Математика в экономике

Комментарии, рецензии и отзывы

§ 6.2. угловые точки выпуклых многогранных областей: Математика в экономике, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержание курса охватывает вопросы линейной алгебры и ее приложений в экономике. В учебнике подробно изложены следующие вопросы, арифметические векторы и системы линейных уравнений, матрицы и определители, линейные экономические модели...