§ 6.2. угловые точки выпуклых многогранных областей
§ 6.2. угловые точки выпуклых многогранных областей
2
Рассмотрим выпуклую многоугольную область в А (на плоскости ). Как правило, такие области имеют вершины или, по-другому, угловые точки. Постараемся выяснить точный смысл понятия вершины.
Определение. Точка С выпуклой многогранной области М С А" называется вершиной, или угловой точкой области М, если не существует представления С в виде
C = sC+(i-s)C2,
где С, Є М, С2 Є М и 0 < s < 1.
Возникает вопрос о практическом способе нахождения вершин.
Отсюда напрашивается следующий способ нахождения вершин, который мы примем без строгого обоснования.
Способ нахождения вершин выпуклой многогранной области
Пусть область М С Ап задана с помощью системы линейных неравенств. Выберем какие-либо п из этих неравенств и заменим их равенствами. Получим систему из п линейных уравнений с п неизвестными. Если эта система имеет единственное решение X, причем X Є М, то X — вершина области М. Таким путем могут быть получены все вершины М.
Пример. Область М С А задана системой
Зх, + 10л:2 < 60 4jc, + 5хг < 60 .
я, >0, х2>0
Найдем вершины М.
Заменяя каждую пару неравенств уравнениями, получаем шесть систем:
= о,
х2= 0,
j Зх, + 10x2 = 60 j Зх, + 10х2 = 60 {Зх, -г10х2 = 60
4xi + 5х2 = 60,
х2= 0
= о,
4х, + 5х2 =60 4х, + 5х2 = 60
х2= 0,
Каждая из этих систем имеет единственное решение:
(12, ^), (0, 6), (20, 0), (0, 12), (15, 0), (0, 0).
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы