Глава 1 арифметические векторы и системы линейных уравнений § 1.1. арифметические векторы и действия над ними. пространство rn
Глава 1 арифметические векторы и системы линейных уравнений § 1.1. арифметические векторы и действия над ними. пространство rn
Напомним некоторые сведения из школьного курса геометрии.
Если на плоскости ввести прямоугольную систему координат, то каждому вектору а (направленному отрезку) будет соответствовать пара чисел а,, а2 — координат этого вектора. Мы записываем это с помощью равенства
а = (аи а2). Аналогично в трехмерном пространстве
а = (а,, а2, а3).
Обобщая эти факты, примем следующее определение, в котором и означает любое натуральное число.
Определение 1. Арифметическим n-мерным вектором называется любая последовательность из п действительных чисел
в,,в2,...,вй.
Для сокращенного обозначения арифметического вектора обычно пишется одна буква с чертой сверху:
а = (аиа2 ап).
Числа ар а2, ап, задающие вектор а, называются координатами этого вектора. Например,
д = (-2, 4, 1, 1,0)
— арифметический вектор с координатами -2, 4, 1, 1, 0.
Разумеется, непосредственный геометрический смысл имеют только одномерные, двухмерные и трехмерные арифметические
7 векторы. Первые изображаются направленными отрезками на числовой прямой, вторые — на координатной плоскости, третьи — в координатном пространстве.
В дальнейшем слово «арифметический» в названии вектора будем, как правило, опускать.
Определение 2. Два вектора а и b с одним и тем же числом координат:
а = (а{,а2, aj; b = (bvb2 bn)
будем считать равными в том и только в том случае, когда ai = bl, а2 = b2,ап = bn. Равенство векторов обозначается обычным образом: а = Ь.
Определение 3. Суммой двух векторов a ub (с одинаковым числом п координат) называется вектор
a + b = (ax+b{,a2 + b2,ап + Ьп).
Легко проверяются следующие свойства сложения векторов:
a + b = b + a.
(a + b) + с = а + (В + с).
Вектор (0, 0, 0) называется нулевым и обозначается 0 (или
просто 0). Очевидно, что
а + 0 = а для любого а.
Наконец, вектор (-а,, -а2 -а„) называется противоположным
вектору а = (ах, д2> Д„) и обозначается -а.
а + (-а) = 0. і
Определение 4. Произведением вектора а = (а^, а2,...,а„) на число к называется вектор
ka = (kavka2, ...,kan).
Проверьте следующие свойства операции умножения вектора на число:
k(a + b) = ka + kb, (k +1) -а = ка + la.
k(ll) = (kl)a. 7.1-о = в.
Определение 5. Множество всех n-мерных арифметических векторов, в котором введены указанные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется арифметическим n-мерным векторным пространством и обозначается R".
Снова подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства Я1, R2, R3. Пространство R" при п > 3 — чисто математический объект. Как мы увидим далее, этот объект очень удобен для описания реальных процессов, в том числе экономических.
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы