§ 1.2. скалярное произведение векторов
§ 1.2. скалярное произведение векторов
Начнем с примеров.
Пример 1. Группа студентов совершила туристическую поездку по ряду европейских столиц. К концу путешествия обнаружилось, что в их кошельках накопились остатки валюты: 15 французских франков, 10 британских фунтов стерлингов, 20 голландских гульденов и 25 немецких марок. Остатки составили «валютный» вектор
а = (15, 10, 20, 25).
Посоветовавшись, студенты решили обратить валюту в рубли и организовать банкет. На обменном пункте они узнали курсы валют:
1 французский франк — 1000 руб.,
1 британский фунт стерлингов — 7500 руб.,
1 голландский гульден — 3000 руб.,
1 немецкая марка — 3500 руб.
Таким образом, появился еще один четырехмерный вектор — вектор обменных курсов валют:
Б = (1000; 7500;3000; 3500).
Чтобы определить, сколько рублей имеется на банкет, нужно выполнить следующий расчет:
15 • 1000 + 10 • 7500 + 20 • 3000 + 25 • 3500 = 237 500 руб.
Пример 2. Коммерческий банк, участвующий в строительстве многоэтажных автомобильных стоянок в центре Москвы, предпринял усилия по получению кредитов в трех коммерческих банках: «Мост-банке», «Мосбизнесбанке», «Столичном банке сбережений». Каждый из них предоставил кредиты в размерах соответственно 20, 40 и 40 млрд руб. под годовую процентную ставку 40, 25 и 30\%.
В данном примере речь идет о двух векторах: трехмерном векторе кредитов с = (20; 40; 40) и векторе процентных ставокр = (40; 25; 30).
Используя простой расчет,управляющий коммерческим банком может определить, сколько придется платить по истечении года за кредиты, взятые у трех банков:
201,4 + 401,25 + 401,3 = 130 млрд руб. На этих примерах мы можем видеть возникновение своеобразной
операции над векторами из R", называемой скалярным умножением
векторов.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов а = (flj, а2,ап)иЬ(bv b2,bn) называется число
(a,b) = axbx +a2b2 + ... + anbn.
Перечислим основные свойства скалярного произведения (проверку предоставляем читателю провести самостоятельно).
(a,b)_=(b,a)._
{ka, b) = k(a,b).
(а,Ь + с) = (а,Ь) + (а, с).
(а, а) > 0 если а * 0 и (а, а) = 0, если а = 0.
Как известно из школьного курса, для векторов из R3 справедливо равенство
(а, Ъ) = Щ ■ Ь • cos ф
и, как следствие,
ffl = ^); (її)
cos9 = ^| (1.2)
Ш ■ ъ
(равенство (1.2) справедливо при а * О, Ъ * 0). 10
Равенства (1.1), (1.2) подсказывают нам, как разумным способом определить для векторов из R", где л>3, понятие модуля вектора и угла между векторами.
Определение 2. Для векторов из R" (п любое) модуль |а[ вектора а и косинус угла <р между двумя ненулевыми векторами а
и Ъ определяются с помощью формул (1.1) и 1.2).
Впрочем, формула (1.2) нуждается в некотором комментарии. Дело в том, что уравнение cos ф = с (где ф — неизвестное число) имеет решение только при -1 < с < 1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала
убедиться, что число ^' ^1 заключено между -1 и 1. Это вытекает из ЩЪ
следующего важного неравенства.
Неравенство Коши-Буняковского. Для любых двух векторов аиЬизЯ" справедливо неравенство
(а,Ъ)г<(а,а)-(Ь,Ь). 0-3)
Доказательство. Возьмем какое-либо число t и составим вектор с = ia + b.
Имеем
(с, с) = (га + b, tа + Ъ) = Iі (а, а) + It (а, Ъ) + (Ь, Ь)
или, обозначая (а, а) = а, (а, Ь) = р, (Ь,Ъ) = у,
(с, с) = at2 +2рг + у .
Квадратный трехчлен аґ2 + 2рг +у, получившийся справа, при любом значении t неотрицателен (ибо (с, с) > 0), следовательно, его дискриминант < 0. Таким образом, (З2 а ■ у < 0, или
(а, Ъ)г (а, 5) ■ ф, Ъ) <; 0,
что равнозначно неравенству (1.3).
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы