§ 1.5. применения метода гаусса

§ 1.5. применения метода гаусса

Определение 1. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Ч2Л2

Общий вид однородной системы т уравнений с и неизвестными:

а„ х1+а12х2 + ... + а1пхп = 0

а21 х + а22 х2 + + а2п хп = 0

ат х+ат2х2 +-+атпХп = 0

Однородная система всегда совместна: одно из ее решений есть

х, =0, х2 = 0 хп = 0.

Это решение называется нулевым. Особую важность представляет вопрос, имеет ли данная однородная система ненулевые решения. Частичный ответ дает следующая теорема.

Теорема. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство. Применим к данной системе метод Гаусса. В процессе преобразований не могут появиться противоречивые уравнения 0-Xj + ... + Q-xn = b, где b±0, поскольку все свободные члены уравнений — нули. Значит, после некоторого числа шагов получим систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Поскольку число уравнений меньше числа п неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше п. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные. Система имеет бесчисленное множество решений, в том числе

ненулевые решения.

Доказанная теорема имеет многочисленные применения. В част-носщдокажем с ее помощью теорему, анонсированную в конце §1.3. Напомним ее формулировку.

Теорема. В пространстве R" любая система из s векторов, где s>n, линейно зависима.

Доказательство. Для сокращения записей рассмотрим

случай п = 2, s = 3, т. е. систему из трех векторов в R . Те же рассуждения можно повторить в общем случае. Итак, пусть

«і = (ai Pi). «2 = (а202>йз = (а3Рз)>

три вектора из R2. Наша цель — показать, что система а,, а2, аъ линейно зависима, т. е. что уравнение

x,aj + х2а2 + *3<*3 = О

имеет ненулевые решения.

Координатами вектора xial + х2а2 + х3а3 являются числа ахх{ +

+ а2х2 + а3х3; р,х, + р2х2 + Р3х3, поэтому мы должны показать, что система

[ а, х, + а2 х2 + а3 х3 = 0 { р, х, + р2 х2 + рз х3 = О имеет ненулевые решения. Но это прямо следует из предыдущей теоремы.

По поводу общего случая (лиг— любые, s> п) заметим, что соответствующая однородная система будет содержать п уравнений

(столько, сколько координат у вектораиз F?) и s неизвестных (столько, сколько векторов в системе). Поскольку п < s, ненулевые решения существуют.

В заключение отметим, что метод Гаусса может быть с успехом

использован для решения вопроса о том, является ли данная система

векторов ava2 as линейно зависимой. В этом случае вопрос

заключается в том, имеет ли уравнение

jc,a, +jc2a2 + ... +xsas = О (111)

ненулевые решения.

Уравнение (111) в координатной записи означает систему и линейных уравнений с s неизвестными. Для решения системы можно воспользоваться методом Гаусса. Если окажется, что решение

единственное (т.е. нулевое), то система a,fl2,...fis линейно независима; в противном случае эта система линейно зависима.

Пр им ер. Дана система из четырех векторов в R5:

(1.12)

5,=(-1; 3; 3; 2; 5),

о2 = (-3; 5; 2; 3; 4),

53 = (-3; 1;-5; 0;-7),

54 = (-5; 7; 1; 4; 1).

Выяснить, является ли эта система линейно зависимой.

Решение. Пишем уравнение

jc,a, + х2а2 + х3я3 + х4а4 = 0

или, в координатной записи, — систему уравнений

(1.13)

-jc, Ъх2 3*з 5х4 = 0 Зх, + 5х2 + х3 + 1х4 = 0 • Зх, + 2х2 5х3 + х4 = 0 2х, + Зх2 + 4х4 = 0 5х, + 4л:2 7х3 + х4 = 0

Если эта система имеет только нулевое решение, то система векторов (1.12) линейно независима. Если же имеются и ненулевые решения, то система (1.12) линейно зависима.

Применим к системе уравнений (1.13) метод Гаусса:

Процесс преобразований закончен. Получилась система уравнений с базисными неизвестными xv х2, хл и свободным неизвестным хг. Наличие свободного неизвестного означает, что решений —

бесчисленное множество. Значит, система векторов (1.12) — линейно зависима.