§ 1.7. базис пространства r"

§ 1.7. базис пространства r"

■л

В пространстве R для любых векторов рх, р2 существует ненулевой вектор q, ортогональный как рх, так ир2 (рис. 1.2). Этот очевидный факт может быть обобщен в виде следующей теоремы.

Теорема. Пусть в пространстве R" задан набор из s векторов рх, р^причем s <п. Тогда существует ненулевой вектор х, ортогональный каждому из вектороврі (і = 1,s).

Доказательство. Пусть рх = ІРХ,Р^ —<Рп)Условие ортогональности вектора jc = (jc, , х2,..., хп) вектору рх имеет вид

рхххх +Рх2х2 + ...+рХпхп = 0,

т. е. представляет собой линейное однородное уравнение относительно

неизвестных хх,х2 хп. Поэтому ортогональность вектора х

каждому из векторов рх, ...,ps записывается в виде системы s однородных уравнений с п неизвестными хх,х2 хп. Поскольку s<n,

такая система обязательно имеет ненулевое решение, что и требовалось доказать.

Я

Обратимся теперь к основному понятию параграфа — понятию базиса.

Определение. Система векторов из R" называется базисом пространства R", если:

эти векторы линейно независимы;

любой вектор из Rn является линейной комбинацией векторов данной системы.

Примером базиса в R" может служить система из я векторов

г в, = (1,0, ...,0), I ?2 = (0, 1, ...,0),

U„ = (0,0, 1).

Действительно, векторы cve2, ёп образуют лестничную систему и потому линейно независимы. Если а = (аи а2,ап) — произвольный вектор из R", то очевидное равенство

й = а,?] +а2ё2 + ... + апёп

показывает, что а есть линейная комбинация ?,, е2,еп.

В приведенном примере базис состоял из п векторов. Это не случайно, как показывает следующая теорема.

Теорема. Линейно независимая система векторов в R" тогда и только тогда является базисом, когда число этих векторов равно п.

Доказательство. Пусть система

Р\>Р~2 Ps

является базисом в R"; покажем, что s = п.

Прежде всего ясно, что не может быть j > и, ибо в этом случае система Pj,p2,Д, по теореме § 1.5 была бы линейно зависимой. Покажем, что не может быть и s < п. 30

Рассуждая от противного, предположим, что s<n. По условию любой вектор b Е Я" должен линейно выражаться черезрх,р2, ....р , т. е. уравнение

b^x]p]+x2p2 + ... + x^ps (1.14)

обязательно должно иметь решение. Поскольку s < и, то по предыдущей теореме должен найтись ненулевой вектор q, ортогональный каждому из векторовpvp2, ...,ps.

В частности, взяв в качестве Ъ вектор q, получим (q,q) = 0, что противоречит условию * 0. Итак, равенство s = л доказано.

Обратно, пусть линейно независимая система в R" состоит из п векторовp~i,p~2> —<РпДокажем, что эта система — базис, т. е. что любой вектор линейно выражается через pvPi, —,р„Это непосредственно следует из свойства 4 линейной зависимости в § 1.3. Теорема доказана полностью.

Пример /.Система

Р,=(7, 3,-2), Д2 = (°. 2, 1), Рз = (0, 0, 4)

является базисом в Л3. Действительно, векторы P,Pi,p3 образуют лестничную систему и потому линейно независимы; поскольку их число равно 3, то эти векторы образуют базис.

Пример 2. Векторы

Д, = (0, 0, 0, 1), р2 = (7, 1, 3,-2), Д3 = (0, 0,-2, 6), Д4 = (0,-1, 2, 0)

образуют базис в R4. Действительно, расположив эти векторы в другой последовательности, а именно:

Р2<Ра'РуР]'

получим лестничную систему векторов в R*. Следовательно, эта система — базис.