§ 1.11. непрерывность сложной и обратной функций. непрерывность элементарных функций

§ 1.11. непрерывность сложной и обратной функций. непрерывность элементарных функций

Ранее (в § 1.9) уже говорилось о том, что арифметические операции над функциями сохраняют непрерывность. Теперь мы добавим к числу операций, сохраняющих непрерывность, еще две: 44 составление сложной функции и переход от данной функции к обратной.

Теорема 1.7 (о непрерывности сложной функции).

Пусть даны две непрерывные функции:

х = «(/), отображающая множество Т в множество X;

У = g(x)отображающая множество X в множество Y. Тогда сложная функция g{h(t)) непрерывна на множестве Т (и отображает его на Y).

Доказательство. Пусть /0 є Т. Если t0изолированная точка множества Т, то функция у = g(h(t)) непрерывна в этой точке по определению (см. § 1.9, п. 3°). Пусть теперь г0предельная точка для Т. Рассмотрим произвольную последовательность /,, tv ... точек из Т, сходящуюся к t0. Вследствие непрерывности h(t) последовательность «(/,), h(t2),. . сходится к числу h(t0). Положим

*i =я(>|)'*2 =h{t2),...;xu =h(t0).

Ввиду непрерывности^*) последовательность g(xx),g(x2),... должна сходиться к числу g(x0). Итак, последовательность значений сложной функции

*(Ч'.)МЧ'2)).сходится к числу g(h(tQ)), что и доказывает непрерывность сложной функции в точке /0 .

Теорема 1.8 (о непрерывности обратной функции).

Пусть функция у =ЛХ) непрерывна и возрастает на отрезке [а, Ь]. Тогда обратная функция х = f~y) также непрерывна и возрастает на [Да); А^)](Аналогичное утверждение справедливо для непрерывной убывающей функции).

Доказательство. Возрастание/ "' непосредственно следует из возрастания/ Докажем непрерывность в любой точке у0 є [Aa);fib)].

Положим х0 = f '(>>0), т.е./(лс0) = ,у0. Возьмем произвольную последовательностьу{,уг, из [До); fljb)], сходящуюся ку0. Для простоты будем считать, что эта последовательность возрастающая, т.е. у{ <у2< .... (рис. 1.15). Пусть х2, ... соответствующая последовательность значений , тогда <х2 < .... Ввиду того, что последовательность xvx2,... возрастающая и ограниченная (все члены последовательности содержатся в [я;б]), существует предел с lim хи. Учитывая непрерывность функции / в точ-ке с, будем иметь /(c) = lim/(x„) = lim^„ = у0; сопоставляя f(xo) = Уо и/(с) = Уо> получаемх0 = с.Итак, limx„ = х0, или

Теорема 1.9. Любая элементарная функция непрерывна в любой точке, принадлежащей области определения функции

Лия доказательства достаточно проверить непрерывность основных элементарных функций:

у = ха, у = ах, у = oga х(а>0,а * І), у = sinx, у = cosx, ^ у = tg х, у = arcsinx, у = arccos х, у = arctg х,

поскольку любая другая элементарная функция получается из этих функций с помощью операций, сохраняющих непрерывность: арифметических, а также составления сложной функции.

Непрерывность каждой из функций (1.16) доказывается с помощью своего специального рассуждения. Заниматься этим здесь не будем, апеллируя к наглядному представлению о і рафиках функций^.16).

Пример 1.11. Функция у = arcsin — непрерывна во всей об1 х

ласти ее существования, т.е. при — є[-1; 1], или, что то же, при х є(^о;-1]и[1;оо).

Если последовательность у{, у2,... не является монотонной, то равенство (1.15) так просто не получается. Однако, если из этой последовательности выбрать любую монотонную подпоследовательность уП[ ,у„гто по доказанному будем иметь, что последовательность чисел

сходится к числу f'(y0). Примем без доказательства следующий (достаточно очевидный) факт: если последовательность чисел такова, что любая ее монотонная подпоследовательность сходится к одному и тому же числу А, то и вся последовательность сходится к А. Тогда будем иметь (1.15), что и завершает доказательство теоремы.

В своих рассуждениях, носивших общий характер, мы несколько отдалились от тех конкретных функций, с которыми приходится иметь дело на практике, точнее, от элементарных функций. Как же обстоит дело с непрерывностью элементарных функций? Одна из весьма важных теорем математического анализа утверждает следующее.