§ 1.13. функции нескольких переменных

§ 1.13. функции нескольких переменных

1°. Определение функции нескольких

переменных

Линии и поверхности уровня В предыдущих параграфах рассматривались числовые функции у = f(x) одной переменной х Областью определения такой функции являлось множество X с R. Числовая функция п переменных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество X пространства R", п > 1. В этом случае значение аргумента х представляет собой точку(х1,х2,...хп) из R"; соответственно

y = f(xl,x2,...xn) (1.17)

(переменнаяу является функцией от п переменных х1,х2,...х„, где (х],х2,...хп)еХ).

Для функций двух переменных (и = 2) вместо дс,, х2,у пишут обычно х, у, 2, тогда (1.17) принимает вид

г = /(*,>>); (1.18)

точка (х, у) пробегает область определения X с R2 функции/ Линией уровня функции (1.18) называют линию

f(*,y) = C

на координатной плоскости, в точках которой функция/принимает постоянное значение С.

4-і»" 49

Например, для функции z = 1пх + пу(х>0,у>0) любая из линий уровня определяется условиямих>0,у>0,ху = С (естественно, С > 0) и представляет собой ветвь гиперболы ху = С, расположенную в первой четверти.

При п > 2 следует говорить не о линиях, а о множествах уровня Множество уровня имеет уравнение

f(xl,x2,...,x„) = C

и истолковывается как «поверхность» в R". Например, поверхность уровня функции

2 2 2

и=х +у + Z есть поверхность в Л3; она определяется уравнением

Х2+у2+22=С,

где С > 0, и представляет собой сферу радиуса Vc с центром в начале координат. Для функции

1 + х2 +у2

U (Z * 0)

поверхность уровня определяется уравнением

1 + х2 +у2 =Cz

и представляет собой поверхность вращения с осью z (сечения плоскостями z = const окружности). Одна из таких поверхностей уровня показана на рис. 1.18.

2°. Элементарные функции нескольких

переменных

Практические приложения математического анализа, связанные с функциями нескольких переменных, обеспечиваются в основном элементарными функциями.

Определение. Функция f{xv хп), заданная некоторым аналитическим выражением, называется элементарной, если в ее запись входят только: 1) символы самих переменных jt,, хп; 2) знаки арифметических операций +, -, •, :; 3) скобки; 4) символы основных элементарных функций одной переменной:

Рис. 1 18

(...)а(символ степенной функции) а( ^(символ показательной функции) log (...) (символ логарифмической функции) sin(...), cos(...), tg(...) (символы тригонометрических функций) arcsin(...), arccos(...), arctg(...) (символы обратных тригонометрических функций).

Областью определения элементарной функции /(*,,...,*„) можно считать множество всех точек (лГ[,.„^гп) є FT, для которых выражение, задающее функцию, имеет смысл (ОДЗ). Например, функция

у = 2^Г7'+ое2(Х2хі) + ( ' >

(x,-lXx2-lj

является элементарной функцией трех переменныхxl,x2,xi. Ее область определения задается в пространстве к условиями

х2хъ > 0,д:, Ф ,х2 Ф 1.