§1.14. сходимость точек в r". открытые и замкнутые множества. предел и непрерывность для функций нескольких переменных
§1.14. сходимость точек в r". открытые и замкнутые множества. предел и непрерывность для функций нескольких переменных
1°. Расстояние между точками в R"
Напомним, что в пространстве Rl (т.е. на числовой прямой) расстояние между точками х, и х2 равно х2 х,|, в пространстве Fr для расстояния между точками р = (х,, х2) и q = (yvy2) справедлива формула
Р(Р.1) = ^У1-х<)2+(у2-х2)2, (1-19) а в пространстве Л3 формула
Р(Р,Я) = *.)2 + (У2 *2)2 + (Уз *з)2, (L2°)
ГДЄ/7 = (Х,,Х2,Х3), 9 = Ор>;2^з)В пространстве R", где и > 3, о расстоянии можно говорить лишь в условном смысле, так как точки в R" не имеют непосредственного геометрического истолкования. Аналогично формулам (1.19) и (1.20) мы определяем расстояние в R", где п > 3, формулой
Р(Р,Ч) = >/(У. *,)2 + (У2 *2)2+-+0'„ *„)2, О-21)
где,£ = ^1' *2' " ^ = ^1' Уъ> •■' -О ~ две произвольные точки из РГ.
Введенное таким путем расстояние в R" обладает следующими свойствами:
pip, q) > 0, если/? * q, и pip, р) = 0;
р{р, q) = piq,p); (1.22)
pip, q) + p(q, r)>pip, r),
каковы бы ни были точки р, q, г. Свойства 1 и 2 очевидным образом следуют из определения расстояния. Свойство 3 носит название «неравенство треугольника». В случае пространств R2 и R3 оно имеет очевидный смысл, так как выражает тот факт, что сумма двух сторон треугольника всегда больше либо равна третьей стороне.
Доказательство неравенства 3 (1.22) дается в приложении 1 к данной главе.
При рассмотрении функций в R" широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при и = 2 и и = 3.
Определение. Пусть р0 точка в R" и є положительное число. Открытым шаром или просто шаром радиуса є с центром р0 называется множество всех точек, расстояние которых от р0 меньше є.
[peRnp{p0,p)<£}. (1.23)
Шар радиуса г с центром р0 обозначается В(р0, є).Часто шар Вірп, £) называют f-окрестностью точки р0.
Разумеется, при п = 2 вместо слова «шар» следует говорить «круг».
Определение. МножествоX<= R" называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.
Нетрудно показать, что ограниченность множества X означает, что существует такое число С > 0, что координаты любой точки/? = (х,, х2,... хп) из Хпо модулю не превосходят С:
|х,|<С,|х2|<С,...,|хл|<С.
2°. Сходимость точек в R"
Определение. Пусть {рп} последовательность точек в к Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке Pq, если числовая последовательность {р(рп, р0)} имеет предел 0.
Иначе говоря, последовательность {рП} сходится к р0, если расстояние {р(р„, р0)} неограниченно уменьшается с ростом и.
Можно дать и другое определение сходящейся последовательности не через расстояние между точками, а через координаты точек. Для сокращения записей дадим это определение для п = 2.
Определение. Пусть рх = (х,, ух рг = (х2, у2),... последовательность точек в Рг. Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке р0 = (Xq, у0), если числовая последовательность х,, х2, ... сходится к числу х^ а числовая последовательность ух, у2, ... к числу у0.
Чтобы установить эквивалентность этих определений, заметим сначала, что справедливы следующие неравенства: если р = (х,у) и/?' = (х',у'), то р(р,р')<х-х' + у-у', (1.24) і* х' < р(р,р'),у у' < р(р,р'). (1.25)
Справедливость каждого из этих неравенств устанавливается возведением в квадрат левой и правой частей.
Пусть теперь последовательность {рп } сходится к р0 в смысле исходного определения. Это означает, что последовательность {р{р„, р0)} стремится к нулю. Записав для точек рп, р0 неравенства (1.25), получим
О ^ К *ol ^ РІРп,Ра 0 ^ Уп ~ Уо ^ РІРп^Ро)-Отсюда в силу известных положений о пределах вытекает, что каждая из последовательностей {хп -х0\} и{уп -у0\} стремится к нулю. Следовательно, хп —> х0 и уп —> у0, т.е. последовательность {рп} сходится к р0 в смысле второго определения. Обратно, пусть {рп} сходится к р0 в смысле второго определения. На основании неравенства (1.25), примененного к точкамрп,р0, получим
РІРп>Рй)£х»-Хо + У*-Уо(L26) Каждая из последовательностей {хп х0\},{уп у0\} по условию стремится к нулю; тем самым последовательность {хп х0|} + +{]уп — у0\} также стремится к нулю. Отсюда и из (1.26) вытекает, что последовательность {р (рп,р0)} стремится к нулю, т.е. что последовательность {рп} сходится к точке р0 в смысле исходного определения.
Установим важную для дальнейшего лемму о сходимости. Предварительно введем такое определение. Пусть
Pi.Л»(1.27) последовательность каких-то элементов, а и); п2,... возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность p„L,p„2, ... называется подпоследовательностью
последовательности (1.27). Проще говоря, подпоследовательность это любая бесконечная часть данной последовательности.
Лемма. Всякая ограниченная последовательность точек в пространстве R" содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из R"
Заметим, что с геометрической точки зрения содержание леммы в достаточной мере очевидно. Если последовательность точек на плоскости (в л) ограничена, т.е. заключена внутри некоторого круга В, то ввиду бесконечности этой последовательности, в круге В обязательно должны найтись места «сгущения» данной последовательности, т.е. должны существовать подпоследовательности, сходящиеся к некоторым точкам (рис. 1.19).
Рис 119
Доказательство леммы дается в приложении 2 к данной главе.
3°. Открытые и замкнутые множества в Я"
Определение. Пусть Xмножество в пространстве RP. Точка р называется:
внутренней точкой множества X, если существует шар В(р г) все точки которого принадлежат X;
внешней точкой по отношению к X, если существует шар В(р г), ни одна точка которого не принадлежит X,
На рис. 1.21 множество X представляет собой круг на плоскости (в л ) вместе с граничной окружностью; граничными точками множества X являются точки этой окружности. Если в качестве X взять круг без граничной окружности, множество граничных точек останется тем же.
Определение. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние. Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
Упомянутый выше кругХ(ркс. 1.21) без граничной окружности является открытым множеством; тот же самый круг вместе с граничной окружностью замкнутое множество.
4*. Предельные точки множества.
Изолированные точки
Примем следующее
Определение. ПустьXмножество в РГ. ТочкаpQ называется предельной для X, если в любой окрестности точки р0 (любом шаре B(Pq, є)) имеются точки множества X, отличные от р0.
При этом сама точка р« может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.
Очевидно, любая внутренняя точка множества Л'является предельной для X; любая граничная точка множества X также является предельной для X. Столь же очевидно, что других предельных точек для X, кроме внутренних и граничных, не существует.
Определение. Точка р0 множества X называется изолированной точкой этого множества, если существует такой шар В(р^ є) с центром р^ в котором никаких других точек из X, кроме точки р0, не имеется.
Ясно, что любая точка множества X является либо изолированной, либо предельной для X.
5". Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Определение. Пусть на множестве X a R" задана функция f и пусть р0 предельная точка для X. Число а называется пределом функции f в точке р^, если для любой сходящейся к pQ последовательности {рп}, где все р„^ра, соответствующая числовая последовательность {Дрп)} сходится к числу а. Запись:
lim f(p) = а,
р->ра
или в координатной форме:
lim /(*,,...*„) = о.
Определение. Функция/, определенная на множестве X с R" , называется непрерывной в точке р0 є X, если
lim f(p) = f(p0),
Р-+Ро
а также если р0 изолированная точка множества X.
Все свойства пределов, установленные ранее для функций одной переменной, остаются справедливыми для функций п переменных (доказательства повторяются дословно). Напомним эти свойства:
1. Если lim f(p)-a и lim g(p) = b, то
Р->Ро Р->Ро
Km {/(p) + g{p)) = a + b, imf{p)g{p) = ab, ЦтЩ = ^, (последнее при b * 0).
2. Если существует lim f(p), то в некоторой окрестности
Р->Ро
точкир0 (в некотором шаре В(р0,е)) функция/(/?) ограничена.
Если в некоторой окрестности точки р0 имеем /(Р)~ g(p) и существуют lim f(p) = a, lim g(p) = b, то а>Ъ.
Р-*Ро Р-*Ро
Если в некоторой окрестности точки р0 имеем f(p)>g(p)>h(p причем пределы lim f(p)u lim hip) сущеP->Po p-+Po
ствуют и равны одному и тому же числу а, то и lim g(p) а.
Р->Ро '
Остается справедливой и теорема о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций. В частности, для случая двух переменных отсюда следует, что любая функция вида
Р(х,у)
где Р{х, у) и Q(x, у) два многочлена от х ну, непрерывна в любой точке (х, у), где Q(x, у) * 0.
Сохраняет силу и теорема о постоянстве знака непрерывной функции: если f(p0) * 0, то в некоторой окрестности точки р0 функция/имеет тот же знак, что и в точке pQ.
В заключение данного параграфа введем такое
Определение. Функция f определенная на множестве X с называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества X.
Возвращаясь к введенному в § 1.13 классу элементарных функций от п переменных, отметим, что справедлива следующая теорема.
Теорема 1.10. Любая элементарная функция непрерывна на всей области ее определения.
Для функции одной переменной мы доказали такую теорему в §1.11. Для функций п переменных доказательство по существу остается тем же (оставляем без уточнения).
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы