§ 2.2. дифференцируемость и непрерывность
§ 2.2. дифференцируемость и непрерывность
Определение. Функция у=/(х) называется дифференцируемой в точке ху если ее приращение в точке х0 можно представить в виде
Ау = А Ах + а(Дх)Дх, (2.4)
где А некоторое число, ог(Дх) функция от Ах , являющаяся бесконечно малой при Ах -> 0.
Следующая теорема устанавливает связь между дифферен-цируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке.
Теорема 2.1. Для того, чтобы функция J[x) была дифференцируемой в точке xv необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция у =fix) дифференцируема в точке х0 Тогда ее приращение Ау можно представить в виде (2.4). Имеем
Ay ААх + а(Ах)Ах , N
lim — = lim = hm [A + a(Ax)j = A
Дг-»0 AX Ai-X> ДХ Ді->0
Следовательно, производная f'(x0) существует и /'(*о) =y*-72
Достаточность. Пусть существует конечная производная ^(х0) А. Тогда, по определению производной,
Ау
lim — = А .
Дг-»0 Дх
Положим а(6) = 0 и а(Ах) = ~ А, если Ах * 0. Определенная так
функция аІАх) является бесконечно малой при Дх -> 0. Действительно,
lim а(Дх)= limf—-А = А-А = 0
Кроме того, Ау ААх + а(Ах)Ах Тем самым доказано, что функция Дх) дифференцируема в точке х0.
Замечание. Если функция у =fix) дифференцируема в точке х0, то из равенства (2.4) следует, что Ау -> 0, когда Ах -* 0, т.е. функция fix) непрерывна в х0. Обратное утверждение неверно: функция может быть непрерывной в некоторой точке х0, но не быть дифференцируемой в х0. В качестве примера рассмотрим функцию >> = |х|. Она непрерывна в каждой точке. С другой стороны, в точке х0 = 0 функция у = |х| не имеет производной (см. пример 2.5) и по теореме 2.1 не является дифференцируемой.
Пусть функция .у =fix) дифференцируема в точке х0. Тогда Ау можно представить в виде (2.4). Как следует из доказательства теоремы 2.1, коэффициент А в формуле (2.4) совпадает с производной f'(xQ). Запишем формулу (2.4) следующим образом
f(x) = f(x0) + f'(x0)Ax + a(Ax)Ax. (2.5)
Далее, уравнение касательной в точке х0 (см. формулу (2.3)) эквивалентно уравнению
у = /(х0) + /'(х0)Ах. (2.6)
Сравнивая формулы (2.5) и (2.6), видим, что расстояние от точки P(x,fx)) на графике функции до точки Q(x,f(x0) + f'(x0)Ax) на касательной (рис. 2.2) равно а(Ах)Ах, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх, когда Дх -> 0.
і | 'У | Р < > | Q |
О | х0 X Рис 2 2 |
Вывод: геометрический смысл дифференцируемости функции J[x) в точке х0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей точки на касательной стремится к нулю «быстрее», чем Дх
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы