§ 2.3. правила дифференцирования
§ 2.3. правила дифференцирования
Процедура вычисления производной f'(x0) называется дифференцированием функции fx) в точке х0. Теоремы этого параграфа устанавливают правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций. В §2.4 мы увидим, что правила дифференцирования позволяют эффективно находить производные элементарных функций.
Теорема 2.2. Если функции и =fx), v = g(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии g(x0) * 0) также дифференцируемы в точке х0, и выполняются следующие формулы
W41
иди коротко
(u±v) =u'±v',
(uv) =u'v + uv',
(u) _ u'v-uv' vJ ' v2 '
До казательство. Пусть приращения функций u,v,u± v,
и
uv и — вычисляются только в точке хп, так что
V и
Ди = /(х0 + Дх) /(х0), Д v = #(х0 + Дх) g(x0), A(u+v) = f(x0 + Ax) + g(x0 +Ax)(/(x0) + g(x0))
и т.д. Нетрудно видеть, что приращение суммы Д(м + v) равно сумме приращений Аи + Av. Действительно,
А(и + v) = (u + Аи) + (v + Av) {и + v) = Аи + Av.
Аналогично,
Д(м v) = (и + Аи) ~(у + Av) {и v) = Аи Av.
Поэтому
. ' A(u±v) Ли Av
(u±v) = lim -Ц—lim ^± lim ^-=u'±v'.
v ' ді-»о Дх ді->о Дх ді->о Дх
Найдем приращение произведения:
A{uv) = [и + Auj(y + Av) -uv = uAv + vAu + ДмДу.
Из дифференцируемое™ функций и и v в точке х0 следует их непрерывность в х0 (см. § 2.2), поэтому Аи -> 0 и Av -» 0, когда Дх —> 0. Следовательно,
(,„Л цт Л(цу) и„ мДу + уАц + ДцДу .. Av
luv) = lim —-— = lim = и lim — +
лг->о Дх д*-»о Дх дг->оДм
,. Ди ,. ,. Av + v lim — + lim Ди lim — = uv' + vu' + 0v' = u'v + uv'.
Дх->0 Ддг Лі-»0 Ax->0 AX
Найдем приращение частного:
J и") _ u + Au u = у(ц+Дц)-ц(у+Ду) ^ уДц-цДу
v) v + Ду v (у + Ду)у (у+Ду)у'
Отсюда получаем
(М) = lim lim ,vAu~"Av = lim Ax = и'у-иу'
VV/ Д*->0 ДХ Дх-»о(у + Ду)уДх Ді-»0 (у + Ду)у у
Пример 2.6. Пусть С const. Так как х' = 1 и С = 0 (см. примеры 1.1 и 1.2),то(х + С)' = 1.
Пример 2.7. їх2] = (хх) = х'х + хх' = 2х.
гт -у о і'П Гх-1х' 0х-11 1
Пример 2.8.
/ 2 2 ~>
XJ X X X
Теорема 2.3. Если функция у =J[x) имеет обратную функцию х = g(y) и в точке х0 производная /'(х0)*0, то обратная функция g(y) дифференцируема в точке у0 = /(х0) и
g'M'-?ty
или
Доказательство. Положим a =f'(xQ). Тогда из дифференцируемое™/х) в х0 следует, что приращение Ay = f(x0 + Ах)/(х0) можно представить в виде
Ау = аАх + аАх = (а + а) Ах,
где а = йг(Дх) —> 0 при Дх -* 0. Так как а * 0, то отсюда следует, что Дх -» 0, когда Ау —» 0. Имеем
4 ' Д>-»0 Ау Ду-юДу Дх-ХЛДхУ / (хо)
Пример 2.9. Рассмотрим функцию у = х2 на промежутке [0; + оо). Для нее существует обратная функция х = -у/^. В точке
*0 * 0 производная ^ = 2х0 * 0. Следовательно, производная обратной функции х = в точке у0 = Xq будет ~ = Учитыау 2х0
вая, что х0 = т[у^, получим формулу
В частности, если у0 = 1, то ^{4уу= =
Теорема 2.4. Если функция у -j{x) дифференцируема в точке t0 и g(t0) = х0, то сложная функция у =J(g(t)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула:
/Ы4-<о=/'ЫИ'о)
dt
или
У'і'У'х-'і-
До касательство. Функция у -fix) дифференцируема в точке х0, поэтому ее приращение можно представить как
^У = /'(х0) + а(Ах) Ах,
где Дх —> О при At —> О поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемое™) в точке tQ. Так как а(Дх) —> О при Дх -* 0, то о(Ах) -> 0 и при At -* 0. Поэтому
Производная логарифмической функции. Для функции
у ~ logo* имеем
Ay log^X+Axl-lOg,, X
Ах ~ Ах Ах х А*
X
0 д7^о" """At At /'(*o)g'('o) + 0 g,('o) = /'(*o)g'('o)
Пр и мер 2.10. Рассмотрим функции у Vx их = t2 + 1. Для любого t0e R выполняется неравенство t2 +1 > 0. Значит, функция у = Vx дифференцируема (см. пример 2.9) в каждой точке х0 вида х0 = i2 + 1. Применяя теорему 2.4, получим
X t X
где t = Используя непрерывность функции logox в точке X = е
и первый замечательный предел, найдем производную логарифмической функции:
(log. х) = 7loge(jim(l + ')') = ^loga е = -j^.
+1 ,-, =~Г-/х j , ~т('2 + 0,-/ = < 2/Q = Г
Теперь мы можем изменить обозначения. После замены tQ на х запись формулы становится более компактной:
47Г
4x^1
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы