§ 2.11. правило лопиталя
§ 2.11. правило лопиталя
Теорема 2.9 (правило Лопиталя). Пусть А число, символ одностороннего предела (А = а ±0) или символ бесконечности (А = ±оо). Пусть функции f(x) и g(x) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х —> А. Тог-fix)
да, если существует предел lim —)-!(конечный или бесконечх-*л g'{X)
fix)
ный), то существует и предел lim . !, при этом выполняется
*-м g(x)
равенство:
lto4±L,imZM.
До каз ателье те о этой теоремы дадим только в случае, когда /(*), gix) бесконечно малые функции и А = а число. Изменим, если это необходимо, определение функций f(x) и gix) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы
равны нулю: fix) = g(x) = 0. Так как Ymf(x) = 0 = f(a) и limg(x) = 0 = g(M,To fix) и gix) непрерывны в точке а, и к этим
х-*а v ' 47
функциям можно применить теорему Коши (см. § 2.10). Учитывая, что fia) =f{b) = 0, получим
/(*)_/(*)-/(«) Г(с) g(x)~ g(X)-g(a)-g'(c)'
для некоторой точки с, расположенной между точками а их. При х -» а имеем с —> а и, следовательно
f(x)
Напомним, что предел lim , : называется неопределенностью
g(x)
вида^ (или — ), если f[x) -» 0, gix) -> 0 (соответственно, |/"(дг)| —> +оо, |g(x)| -> +оо), когда х А. Правило Лопиталя по,. /(*) 0 со зволяет во многих случаях найти предел lim:~-'вида -, — или,
*->а g(;c) 0 да
как говорят, раскрыть неопределенность. Пример 2.2d. Найти Нт
со
Решение. Имеем неопределенность —. Применяя правиоо
ло Лопиталя, получим
I
.. пх .. (inx) 2jx п
lim -=■ = lim J '— = lim —=— = lim = 0.
*-*« yjx Jr-»«0 / r— ДГ-ЮО 1 j-»oo x
Пример 2.27. Найти Hm^-, и натуральное число.
г х-нп е
00
Решение. Имеем неопределенность — . Применяя правило Лопиталя, найдем
lim — = lim —lim ——.
И
Снова получили неопределенность— (если п 1 > 0). Применим правило Лопиталя повторно:
lim = lim — j .
х-мо gx х-ио e
Если и 2 > 0, то х"~2 -* со и правило Лопиталя можно применить еще раз и т.д. В результате получаем цепочку равенств
lim—= lim——= lim -і { =...= lim —= 0.
х-»<я ex jr-*<e gx х-ка e x-*co Є
Пример 2.28. Найти lim(e* -x").
получим
Решение. Имеем неопределенность оо -co. После тождественного преобразования ех х" = ех
V e'j
( х")
\т(ех -х")= imex 1-lim — =+oo(l-О) =+°°,
где мы использовали равенство lim — = 0 (см. пример 2.27).
х-»со е*
2VT
Пример 2.29. Найти limfV*2 + х V*3 + х2).
х-юЛ /
= lim
Решение. Имеем неопределенность оо-оо. Раскроем эту неопределенность, применяя правило Лопиталя после тождественного преобразования и замены переменной у =
і I _2 (, + *)~2--( + y)~l
Пример 2.30. Найти lim jclnx.
Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо. После преобразования хпх = р± получаем неопределенность Ищ —
1 х->0+0ГП
00
вида—, которая легко раскрывается по правилу Лопиталя:
00
lim -!"£ит v U , ,
В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида 0°, Г и оо°. Для этого следует воспользоваться тождеством и(хГ> = е™* которое приводит указанные нео-пределенности к виду 0 • 00.
Пример 2.31. Найти lim х".
х-* 0+0
Решение. Имеем
lim хх = lim e'lnx = e = e° = 1.
x->0+0 X-+0+0
Здесь мы воспользовались тем, что lim хпх = 0 (см. прих->0+0
мер 2.30) и непрерывностью функции у = ех.
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы