§ 2.11. правило лопиталя

§ 2.11. правило лопиталя: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.

§ 2.11. правило лопиталя

Теорема 2.9 (правило Лопиталя). Пусть А число, символ одностороннего предела (А = а ±0) или символ бесконечности (А = ±оо). Пусть функции f(x) и g(x) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х —> А. Тог-fix)

да, если существует предел lim —)-!(конечный или бесконечх-*л g'{X)

fix)

ный), то существует и предел lim . !, при этом выполняется

*-м g(x)

равенство:

lto4±L,imZM.

До каз ателье те о этой теоремы дадим только в случае, когда /(*), gix) бесконечно малые функции и А = а число. Изменим, если это необходимо, определение функций f(x) и gix) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы

равны нулю: fix) = g(x) = 0. Так как Ymf(x) = 0 = f(a) и limg(x) = 0 = g(M,To fix) и gix) непрерывны в точке а, и к этим

х-*а v ' 47

функциям можно применить теорему Коши (см. § 2.10). Учитывая, что fia) =f{b) = 0, получим

/(*)_/(*)-/(«) Г(с) g(x)~ g(X)-g(a)-g'(c)'

для некоторой точки с, расположенной между точками а их. При х -» а имеем с —> а и, следовательно

f(x)

Напомним, что предел lim , : называется неопределенностью

g(x)

вида^ (или — ), если f[x) -» 0, gix) -> 0 (соответственно, |/"(дг)| —> +оо, |g(x)| -> +оо), когда х А. Правило Лопиталя по,. /(*) 0 со зволяет во многих случаях найти предел lim:~-'вида -, — или,

*->а g(;c) 0 да

как говорят, раскрыть неопределенность. Пример 2.2d. Найти Нт

со

Решение. Имеем неопределенность —. Применяя правиоо

ло Лопиталя, получим

I

.. пх .. (inx) 2jx п

lim -=■ = lim J '— = lim —=— = lim = 0.

*-*« yjx Jr-»«0 / r— ДГ-ЮО 1 j-»oo x

Пример 2.27. Найти Hm^-, и натуральное число.

г х-нп е

00

Решение. Имеем неопределенность — . Применяя правило Лопиталя, найдем

lim — = lim —lim ——.

И

Снова получили неопределенность— (если п 1 > 0). Применим правило Лопиталя повторно:

lim = lim — j .

х-мо gx х-ио e

Если и 2 > 0, то х"~2 -* со и правило Лопиталя можно применить еще раз и т.д. В результате получаем цепочку равенств

lim—= lim——= lim -і { =...= lim —= 0.

х-»<я ex jr-*<e gx х-ка e x-*co Є

Пример 2.28. Найти lim(e* -x").

получим

Решение. Имеем неопределенность оо -co. После тождественного преобразования ех х" = ех

V e'j

( х")

\т(ех -х")= imex 1-lim — =+oo(l-О) =+°°,

где мы использовали равенство lim — = 0 (см. пример 2.27).

х-»со е*

2VT

Пример 2.29. Найти limfV*2 + х V*3 + х2).

х-юЛ /

= lim

Решение. Имеем неопределенность оо-оо. Раскроем эту неопределенность, применяя правило Лопиталя после тождественного преобразования и замены переменной у =

і I _2 (, + *)~2--( + y)~l

Пример 2.30. Найти lim jclnx.

Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо. После преобразования хпх = р± получаем неопределенность Ищ —

1 х->0+0ГП

00

вида—, которая легко раскрывается по правилу Лопиталя:

00

lim -!"£ит v U , ,

В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида 0°, Г и оо°. Для этого следует воспользоваться тождеством и(хГ> = е™* которое приводит указанные нео-пределенности к виду 0 • 00.

Пример 2.31. Найти lim х".

х-* 0+0

Решение. Имеем

lim хх = lim e'lnx = e = e° = 1.

x->0+0 X-+0+0

Здесь мы воспользовались тем, что lim хпх = 0 (см. прих->0+0

мер 2.30) и непрерывностью функции у = ех.

Математика в экономике Часть 2

Математика в экономике Часть 2

Обсуждение Математика в экономике Часть 2

Комментарии, рецензии и отзывы

§ 2.11. правило лопиталя: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.