§ 2.13. высшие производные
§ 2.13. высшие производные
Пусть f'(x) производная функции f{x). Функция f'(x) называется также первой производной. Производная от f'(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f"(x) или /(2х). Третьей производной функции f(x) называется производная ог/"(я), она обозначает/"'(*) или/(3)(*)Вообще, п -й производной от функции /(*) называется производная от ее (п1)-й производной: f{rx) = (f"~x))'. Говорят также, что /(пх) это производная порядка л от функции /(*).
Если х0 это фиксированная точка, то символ/(я)(*0) обозначает производную п -го порядка от функции f(x) в точке х0. Дня ее существования необходимо существование производной f(n~l)(x) не только в точке х0, но и в некоторой окрестности этой точки.
Производная порядка л степенной функции. Пусть у = ха степенная функция с произвольным (не равным нулю) показателем а. Первая производная у'= ахаХ. Если а 1 * 0, то вторая производная у(2)= а(а1)ха~2. Если а 2 * 0, то У3,= а(а )(а-2)ха'1 и т.д. Таким образом, если а не является натуральном числом, то л-я производная имеет вид:
(ха ){п] = а(а )...{а л +1)*""". (2.60)
Если же а натуральное число, то формула (2.60) имеет смысл только для п < а. Рассмотрим подробнее случай, когда а натуральное число, а порядок производной л = а. В этом случае формула (2.60) выглядит так:
(х"){п) = и(м-1)...2 1.
Напомним, что произведение натуральных чисел от 1 до л называется факториалом числа л и обозначается и!. Поэтому («"У"' = л!. Для натурального а в случае л > а, очевидно, л-я производная от ха равна нулю. Пример 2.34.
(х4)=4х
it
(jc4) = 4-Зх>12*2, (х4) = 4-3-2х = 24х, (дг4у4) =4-3-2-1 = 4! = 24, (x4)W=0,«>4. Пример 2.35.
(Л)М=-(-і)"з-5-7,...(2„-3)..
Производная порядка я показательной функции у-а* (О < а Ф 1).
Последовательно дифференцируя, находим
у' = ахпа, у" = ах(па)2,...,у{л)=ах(па)п. В частности, если у = ех, то для любого и имеем
(ez)(n)=ex.
Производные порядка п функций sin х, cos х. Пусть у = sin х. Последовательно дифференцируя, получим
у' = cosx = sin^x + yj,/' = -sinx = sin^x + 2-yj,...,= = = sin^x + Hyj. Аналогично выглядит формула для и-й производной функции cos х: (cosx)^ =cos^x + «y)Пример 2.36.
(cosx)^ = cos^x + 10~j = cos(x + ir) = -cosx.
Производная порядка n функции у = In х. Последовательно дифференцируя, находим производные
y = I V» = _-L V(3) = — V(4)=-—
Пример 2.37. (lnxf)=4 = Z20
X' JC
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы