§ 2.17. неравенство йенсена и средние величины
§ 2.17. неравенство йенсена и средние величины
Напомним, что множество Mb R2 называется выпуклым, если для любых точек А, В є М отрезок АВ целиком содержится в М В предыдущем параграфе было доказано, что отрезок, соединяю
щий точки А и В графика выпуклой функции, расположен выше графика. Очевидно, (рис. 2.21), что и отрезок А'В', концы которого расположены выше графика выпуклой функции, также расположен выше графика.
Определение. Надграфиком функции f(x) называется множество Ну всех точек(х0,у0}, таких, что функция f(x)
определена в точке х0 и у0> /(*<>)•
Фактически, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2.26. Надграфик выпуклой функции является выпуклым множеством.
Напомним, что выпуклой оболочкой точек Л,,..., Ап называется множество всех точек вида аіА,+...+аяА„, где at,...,a„ неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Было доказано, что в
случае, когда все точки А:(і - принадлежит выпуклому множеству М, выпуклая оболочка точек А, также содержится в М.
Вывод: выпуклая оболочка любых точек Аи...,Ап из над-графика Hf выпуклой функции f{x) содержится в Hf В частности, это верно и для точек Ajixpftx)), расположенных на графике функции >> =J[x). Пусть С(хс,ус) произвольная точка из выпуклой оболочки точек Аг Тогда ее координаты
хс = а,х,+...+«„*„,
Ус =(*і/(х1)+...+анДхя).
УсловиеС є Ну означает, чтоус > f(xc) или
/(«,*,+...+«„*„) < aj{xx)+...+anf{xn). (2.78)
Неравенство (2.78) называется неравенством Йенсена. Это неравенство выполняется для любых неотрицательных чисел а, с
единичной суммой и для любых точек х, из промежутка X, на котором функция/(х) является выпуклой.
Положив в неравенстве (2.78)а, = а2 =...= ап = —, получим
и
следующее неравенство
(279)
где я= 1 —-, среднее арифметическое чисел х,,...,х„. С л
помощью неравенства (2.79) нетрудно получить неравенства, сравнивающие среднее арифметическое с такими средними величинами, как среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное.
Средним геометрическим положительных чисел х, называется число уде, ...х„. Функция In х является выпуклой, так как
(-1пх)" = -^>0
x
при* > 0. Используя неравенство (2.79) для функции/(х) = -lnx, получаем неравенство
, - tax, =...+ 1пх.
-1пх< ! -,
п
из которого следует, что
і —(ІПХ.+ +ІПЛ.) . —
Ф^:=е"[ "}<еь*=х,
т.е.
{среднее геометрическое} < {среднее арифметическое}. (2.80) 142
Средним гармоническим положительных чисел х, называется число ——-——. Вторая производная функции — положи-1' X
и
тельна | — ] = > 0, если х > 0. Поэтому функция — выпукла на
^ХУ xі x
интервале (0,+оо). Из равенства (2.79) для функции /(х) = — пох
лучаем неравенство
v і n
из которого следует, что
п
х-- Г'
— +...+ —
т.е.
{среднее арифметическое} > {среднее гармоническое}. (2.81) Средним квадратичным произвольных чисел х, называется число J—— Х" . Так как ^x2J =2 >0 при любом х, то
х2выпуклая функция. Из неравенства (2.79) для функции /(*) = х2 получаем неравенство
(х)2<Х'+-+Х',
следовательно
{среднее арифметическое} < {среднее квадратичное}. (2.82)
С помощью средних величин можно сжимать имеющуюся информацию. Чаще всего для этого используют среднее арифметическое. Пусть, например, в народном хозяйстве занято 10 млн человек и по каждому работнику имеется информация о его доходах. При принятии экономических решений (введение налогов, изменение таможенных тарифов и т.д.) необходимо учитывать влияние этих решений на доходы населения. Однако, непосредственно работать с массивом из 10 млн чисел и неудобно, и бесполезно, поскольку изменения в доходах каждого отдельного лица могут быть не связаны с принятыми решениями. Естественно поэтому попытаться как-то сжать исходную информацию. Можно, например, рассчитать среднюю зарплату по отраслям народного хозяйства или по регионам. В любом случае работать с несколькими десятками показателей проще и зависимость усредненных данных от случайных факторов меньше.
Как уже отмечалось, для определения среднего значения чаще всего вычисляется среднее арифметическое. Однако, в некоторых случаях целесообразно использовать другие средние величины. Пусть, например, имеются данные об индексах инфляции к по каждому из п лет (/ = 1, и). Так как £ это отношение уровня цен на конец /-го года к уровню цен на начало года, то за все и лет уровень увеличивается в к[к2,...,кп раз. Поэтому для определения среднего годового индекса цен лучше использовать среднее геометрическое чисел кх, к2,кп. Неравенство (2.80) позволяет сделать вывод о том, что средний индекс цен, полученный как среднее арифметическое, является завышенной оценкой «истинного» индекса цен, основанного на среднем геометрическом.
Пр им ер 2.56. Пусть в течение 1-го, 2-го и 3-го годов цены увеличивались на 20\%, а в течение 4-го и 5-го годов снижались на 30\%. Среднее годовое изменение уровня цен за 5 лет, полученное с помощью среднего арифметического, составит
-(20 + 20 + 20 30 30) = 0\%. Тогда как среднее геометрическое изменение цен за год будет
(0,2 1,2 1,2 0,7 0,7 l) • 100\% = -3,3\%.
Поскольку за 5 лет уровень цен действительно понизился, то данный пример подтверждает целесообразность применения среднего геометрического при определении среднего индекса цен за ряд последовательных лет.
Рассмотрим теперь пример, в котором «правильным» средним является среднее гармоническое. Пусть в обращении имеется и наличных рублей. Пусть /(/ = 1,и) среднее время, в течение которого /-ый рубль находился в собственности одного лица. Среднее время, в течение которого каждый рубль принадлежит одному лицу, можно определить как среднее арифметическое чисел tn. Можно, однако, поступить по-другому: вычислить число оборотов каждого рубля за год по формуле
затем, найти среднее арифметическое число оборотов
к1+...+к„
И
(2.83)
t.
и наконец, получить среднее время по формуле
1 л
ср ~ к 1 1
Пусть V суммарный объем за год всех операций с участием наличных рублей. Среднее время, рассчитанное по формуле (2.83), является более предпочтительным, поскольку позволяет установить простую связь между массой наличных денег и и объемом операций V. Действительно, V= кх + ... + кп поэтому и = tcp ■ V. Из неравенства (2.81) следует, что среднее время, рассчитанное по формуле
_?,+-+/„
является завышенной оценкой среднего времени, рассчитанного
по формуле (2.83).
Пример использования среднего квадратичного будет приведен в следующем параграфе.
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы