§ 2.17. неравенство йенсена и средние величины

§ 2.17. неравенство йенсена и средние величины: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.

§ 2.17. неравенство йенсена и средние величины

Напомним, что множество Mb R2 называется выпуклым, если для любых точек А, В є М отрезок АВ целиком содержится в М В предыдущем параграфе было доказано, что отрезок, соединяю

щий точки А и В графика выпуклой функции, расположен выше графика. Очевидно, (рис. 2.21), что и отрезок А'В', концы которого расположены выше графика выпуклой функции, также расположен выше графика.

Определение. Надграфиком функции f(x) называется множество Ну всех точек(х0,у0}, таких, что функция f(x)

определена в точке х0 и у0> /(*<>)•

Фактически, мы доказали следующую теорему.

Теорема 2.26. Надграфик выпуклой функции является выпуклым множеством.

Напомним, что выпуклой оболочкой точек Л,,..., Ап называется множество всех точек вида аіА,+...+аяА„, где at,...,a„ неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Было доказано, что в

случае, когда все точки А:(і - принадлежит выпуклому множеству М, выпуклая оболочка точек А, также содержится в М.

Вывод: выпуклая оболочка любых точек Аи...,Ап из над-графика Hf выпуклой функции f{x) содержится в Hf В частности, это верно и для точек Ajixpftx)), расположенных на графике функции >> =J[x). Пусть С(хс,ус) произвольная точка из выпуклой оболочки точек Аг Тогда ее координаты

хс = а,х,+...+«„*„,

Ус =(*і/(х1)+...+анДхя).

УсловиеС є Ну означает, чтоус > f(xc) или

/(«,*,+...+«„*„) < aj{xx)+...+anf{xn). (2.78)

Неравенство (2.78) называется неравенством Йенсена. Это неравенство выполняется для любых неотрицательных чисел а, с

единичной суммой и для любых точек х, из промежутка X, на котором функция/(х) является выпуклой.

Положив в неравенстве (2.78)а, = а2 =...= ап = —, получим

и

следующее неравенство

(279)

где я= 1 —-, среднее арифметическое чисел х,,...,х„. С л

помощью неравенства (2.79) нетрудно получить неравенства, сравнивающие среднее арифметическое с такими средними величинами, как среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное.

Средним геометрическим положительных чисел х, называется число уде, ...х„. Функция In х является выпуклой, так как

(-1пх)" = -^>0

x

при* > 0. Используя неравенство (2.79) для функции/(х) = -lnx, получаем неравенство

, - tax, =...+ 1пх.

-1пх< ! -,

п

из которого следует, что

і —(ІПХ.+ +ІПЛ.) . —

Ф^:=е"[ "}<еь*=х,

т.е.

{среднее геометрическое} < {среднее арифметическое}. (2.80) 142

Средним гармоническим положительных чисел х, называется число ——-——. Вторая производная функции — положи-1' X

и

тельна | — ] = > 0, если х > 0. Поэтому функция — выпукла на

^ХУ xі x

интервале (0,+оо). Из равенства (2.79) для функции /(х) = — пох

лучаем неравенство

v і n

из которого следует, что

п

х-- Г'

— +...+ —

т.е.

{среднее арифметическое} > {среднее гармоническое}. (2.81) Средним квадратичным произвольных чисел х, называется число J—— Х" . Так как ^x2J =2 >0 при любом х, то

х2выпуклая функция. Из неравенства (2.79) для функции /(*) = х2 получаем неравенство

(х)2<Х'+-+Х',

следовательно

{среднее арифметическое} < {среднее квадратичное}. (2.82)

С помощью средних величин можно сжимать имеющуюся информацию. Чаще всего для этого используют среднее арифметическое. Пусть, например, в народном хозяйстве занято 10 млн человек и по каждому работнику имеется информация о его доходах. При принятии экономических решений (введение налогов, изменение таможенных тарифов и т.д.) необходимо учитывать влияние этих решений на доходы населения. Однако, непосредственно работать с массивом из 10 млн чисел и неудобно, и бесполезно, поскольку изменения в доходах каждого отдельного лица могут быть не связаны с принятыми решениями. Естественно поэтому попытаться как-то сжать исходную информацию. Можно, например, рассчитать среднюю зарплату по отраслям народного хозяйства или по регионам. В любом случае работать с несколькими десятками показателей проще и зависимость усредненных данных от случайных факторов меньше.

Как уже отмечалось, для определения среднего значения чаще всего вычисляется среднее арифметическое. Однако, в некоторых случаях целесообразно использовать другие средние величины. Пусть, например, имеются данные об индексах инфляции к по каждому из п лет (/ = 1, и). Так как £ это отношение уровня цен на конец /-го года к уровню цен на начало года, то за все и лет уровень увеличивается в к[к2,...,кп раз. Поэтому для определения среднего годового индекса цен лучше использовать среднее геометрическое чисел кх, к2,кп. Неравенство (2.80) позволяет сделать вывод о том, что средний индекс цен, полученный как среднее арифметическое, является завышенной оценкой «истинного» индекса цен, основанного на среднем геометрическом.

Пр им ер 2.56. Пусть в течение 1-го, 2-го и 3-го годов цены увеличивались на 20\%, а в течение 4-го и 5-го годов снижались на 30\%. Среднее годовое изменение уровня цен за 5 лет, полученное с помощью среднего арифметического, составит

-(20 + 20 + 20 30 30) = 0\%. Тогда как среднее геометрическое изменение цен за год будет

(0,2 1,2 1,2 0,7 0,7 l) • 100\% = -3,3\%.

Поскольку за 5 лет уровень цен действительно понизился, то данный пример подтверждает целесообразность применения среднего геометрического при определении среднего индекса цен за ряд последовательных лет.

Рассмотрим теперь пример, в котором «правильным» средним является среднее гармоническое. Пусть в обращении имеется и наличных рублей. Пусть /(/ = 1,и) среднее время, в течение которого /-ый рубль находился в собственности одного лица. Среднее время, в течение которого каждый рубль принадлежит одному лицу, можно определить как среднее арифметическое чисел tn. Можно, однако, поступить по-другому: вычислить число оборотов каждого рубля за год по формуле

затем, найти среднее арифметическое число оборотов

к1+...+к„

И

(2.83)

t.

и наконец, получить среднее время по формуле

1 л

ср ~ к 1 1

Пусть V суммарный объем за год всех операций с участием наличных рублей. Среднее время, рассчитанное по формуле (2.83), является более предпочтительным, поскольку позволяет установить простую связь между массой наличных денег и и объемом операций V. Действительно, V= кх + ... + кп поэтому и = tcp ■ V. Из неравенства (2.81) следует, что среднее время, рассчитанное по формуле

_?,+-+/„

является завышенной оценкой среднего времени, рассчитанного

по формуле (2.83).

Пример использования среднего квадратичного будет приведен в следующем параграфе.

Математика в экономике Часть 2

Математика в экономике Часть 2

Обсуждение Математика в экономике Часть 2

Комментарии, рецензии и отзывы

§ 2.17. неравенство йенсена и средние величины: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.