§ 2.18. формула тейлора
§ 2.18. формула тейлора
Пусть функция fix) имеет п производных в точке х0. Многочлен
называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке х0.
•(0-1942 145
Очевидно, что в точке хй выполняется равенство ^(*о) = f{xo)-Найдем первую производную многочлена Тейлора
Пх)-Г(х0) + ^(х-х0) + —2І~~{*-*о) +-+ („_,), {х-хо) ■
Из полученной формулы следует, что Г'(х0) = f'(xoy Вторая производная многочлен а Тейлора имеет вид
, ч / f"'xo)t Xі f^" Хо)/ у-2
rix) = fix0) + -f^(x-x0) +...+ j-^(x-Xo) , для нее также Т"(х0) = f"{*o)Аналогично находим, что
Г"(*о) = /"'ы
и т.д. Таким образом, для любого А: от 1 до и выполняется равенство
7^(*0) = /<*>(*„). (2.84)
Теорема 2.27. Пусть функция /(х) имеет в є-окрестности точки х0(п + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула
^х) = Т{х) + 1^(х-ХоУ+ (2-85)
где 1х) п-й многочлен Тейлора функции f{x) в точке х0.
Доказательство. Определим функциюг(х) формулой г(х) = /(*)Т(х)ТаккакГ(х0) = /(х0), тог(х0)= 0. Определим еще одну функцию, $э(х) = (ххоу* Эта функция также, очевид-146
но, обращается в нуль в точке х0. Благодаря этому, мы можем применить теорему Коши для преобразования частного функций г(х) и ф):
r(x) = r(x)-r(x0) = r'(xi) <р(х) <p(x)-(p(xQ) <рХіу
где х, некоторая точка, расположенная между точками х0 и х. Из формулы (2.84) следует, что г'(х0) 0. Кроме того, <р'(х) = (п+ 1)(хх0)", откуда <р'(х,) = 0. Применяя теорему Коши еще раз, получим
г'(ху) = r'(x,)-r'(x0) = г"(х2)
Р'М 9'(х)-9'{хо) <Р"{хгУ где точка х2 расположена между л:0 и хг Применяя теорему Коши аналогичным образом (и + 1) раз, получим цепочку равенств
,ы rkl rfel гіпЛх^) ^)\%^)\%"(Х2)=-\%(-)(Хл+і)где каждая точка хк+, расположена между х0 и хк(к = Так как ^\%xn+l) = (n + l)U a r^xn+l) = f^(x„+l)-7<"lx^) = = /(я+,)(^>), то
ГІХ)= (и+1)! Vх• Положив с х„+1 и учитывая, что/(х) = Г(х) + г(х), получаем
равенство (2.85).
Формула (2.85) называется формулой Тейлора, а выражение-: (* ~ хо) остаточным членом в формуле Лагранжа. Положив х0 = 0 в формуле (2.85), получим формулу Мак-лорена:
П Ї /,(0) ■ /"'(0) ^ /W<°> /(Я+1)^
где с точка, расположенная между 0 и х. 10* 147
ПоложивДх = х х0, х = х0 + Ах, запишем формулу Тейлора (2.85) в другом виде:
2! п п+)
Для функции у = /(х) в случае п 1 получаем
Ay = dy + —Дх) . (2.86)
Формула (2.86) позволяет оценивать ошибку в приближенном равенстве Ay « dy, которое мы неоднократно использовали в § 2.52.9. Действительно, если на промежутке Л'вторая производная / "(х) не превосходит по модулю некоторого числа М, то и абсолютная величина ошибки в приближенном равенстве
&{ 2
Ay « dy для любых х,х0 є Л' не превосходит —(Дх) . В § 2.5 с
помощью приближенного равенства Ay « dy были получены такие приближенные равенства как sin х « х,ех и 1 + х и др. Теперь мы можем оценить их погрешность.
Пр им ер 2.57. Показать, что ошибка в приближенном равенстве ех « 1 + х не превосходит — х для X є (оо,і].
Решение. Воспользуемся непосредственно формулой Тейлора (2.85). Первый многочлен Тейлора для функции Дх) = ех в нуле будет 7х) =/(0) + /'(0)х = 1 + х. Поэтому ошибка в приближенном равенстве ех« 1 + х совпадает с остаточным члеf"(C) 2
ном —-—xі. Вторая производная/"(х) = ех возрастает на R, поэтому ее максимальное значение на промежутке (00,1] равно е. Следовательно,
О < ^ ^ х2 < -х2, когда х є (oo.ll.
2 х J
Формула Тейлора не только позволяет оценить ошибки в известных нам ранее приближенных равенствах, но и получить приближенные равенства нового типа. Предположим, что (и +1 )-я производная функция Дх) ограничена в окрестности точки х0. Пусть Т„{х} и-й многочлен Тейлора функции Дх) в точке
'с гп(х)= ~^—ф (* ~ хо)"+ _ остаточный член в форме Лагран-жа. Тогда гя(х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х х0)" прих -» х0. Действительно,
в силу ограниченности/^"+''(с) в окрестностих0. Следовательно, ошибка в приближенном равенстве
/(*)*Гв(х) (2.87) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х х0)", когдах х0. Используя равенство (2.87) можно получить, например, следующие формулы (при х -+ 0):
, .„ а а{а-) г a(a-l)...(a-n + l) „
М + тІ al + —X + — -х +...+ — —; -х ,
х х2
Єх ЯІ + —+ +...+ — ,
1! 2! и! х2 Xі х , ]Г.х"
хз xs xi (-1)'»»+'
sinx » х— + — —+—+
3! " 5! 7! (2* + 1)! '
х2 ,4 ,6 И)У*
cosx я 1—+ — —+—+
2! ' 4! 6! (2*)! где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно х".
Пример 2.58. Показать, что ошибка в приближенном равенстве
Ці + х)***-^(2.88)
не превосходит для любого X > 0.
Решение. Найдем второй многочлен Тейлора Т2(х) функции X*) = 1п(1 + х) в нуле. Имеем
М'«))'-їїї-И>«))'-^.
Гг(») = /(0) + /'(0), + ^»!=»-1»:!. 2
Далее, (1п(1 + х))'" = г-, поэтому остаточный член
(1 + хГ
/ ч /'"(с) J X3
r3U) = ~X = г.
Точка с расположена между х0 = 0 и jc > 0. Поэтому о 0, (1 + с)3 > 1. Следовательно, ошибка в равенстве (2.88) равна
^ + су и не превосходит — для любого X > 0.
Формула Тейлора, точнее равенство к 7^(лг) может применяться в экономической статистике в следующей ситуации.
Предположим, что для чисел х,, х2, ■ ■ •, хп известно среднее арифметическое
а =
п
и «среднее квадратичное отклонение»
„_1(*1-а)2+..фп-а)2 V п
Как определить среднее арифметическое вида
у =
если числа х],х2,...,х„ неизвестны, но известен отрезок, в котором они все содержатся? Конечно, точное значение у определить невозможно. Однако, мы сумеем найти у приближенно. При этом ошибка будет тем меньше, чем меньше максимальное значение
/"'(х)на отрезке, содержащем все х^,х2,...,хп. Поступим следующим образом: заменим f(x) на ее второй многочлен Тейлора в точке а:
/(х)*Т2(х) = /(а) = /Щх-а)Лг(аХх-а)
Тогда
С учетом того, что — У] (х, а)2 = —а2, получим 2п^і 2
1
(2.89)
Пример 2.59. Для чисел хxIOQ известны среднее арифметическое а = 2 и среднее квадратичное отклонение а = 0,1. Найти приближенно сумму кубов х+.. .+х,300.
Решение. Для функции у = /(*) = хъ найдем среднее арифметическое по формуле (2.89):
у = х1+-+х™ ха'+ -баа2 = 8,06. 100 2
Откуда следует, что xf+...+xf0Q « 806.
Пример 2.60. Для положительных чисел дг,,..., хп известно среднее арифметическое а и среднее квадратичное отклонение ст. Найти (приближенно) среднее геометрическое п}х1,...,хИ.
Решение. Среднее геометрическое можно представить как
I -(lnx,+ +1пх„)
Используя формулу (2.89) для функции /(*) = In дс, получим
—( x.+...+ lnx„)& Ina--^-—. пк 2а2
Следовательно, среднее геометрическое
ф^х~п=ае^. (2-90)
Пример 2.61. Пустьpt стоимость потребительской корзины на 31 декабря /-го года, к, = —— индекс потребительских
Р,цен за /-Й год (/' = 0,1,..., 10). Известно, что среднее арифметическое чисел к, ,...kw равно 1, а среднее квадратичное отклонение а 0,1. Определить (приближенно) относительное изменение цен с 31 декабря нулевого года по 31 декабря десятого года.
Решение. Используя формулу (2.90), найдем приближенно среднее геометрическое
Далее, = *,,...*,„ = (е-0005)'0 = е"005 я0,95. Следовательно,за десять лет цены уменьшились приблизительно на 5\%.
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы