§ 3.2. полный дифференциал и дифференцируемость функции

§ 3.2. полный дифференциал и дифференцируемость функции

При одновременном изменении величин х и у функция z=j[x,y) изменится на величину

= /(х0 + Ах,у0 + Ay) f(x0,y0). (3.3)

(3.4)

Величина Az, заданная формулой (3.3), называется полным приращением функции z в точке (х0, у0). Так же, как и в случае функции одной переменной возникает задача о приближенной замене приращения Az (которое, как правило, является нелинейной функцией от Дх и Ау) на линейную функцию от Дх и Ау. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции, который определяется как сумма произведений частных производных функции на приращения независимых переменных Так, в случае функции от двух переменных, полный дифференциал определяется равенством

az = z'xAx + z' Ay.

В формуле (3.4) точка (х0, у0) явно не указана, однако, следует помнить, что в различных точках (х0,у0) дифференциал будет различным.

Пример 3.3. Найти полный дафференциал функции z = — в точках: а) (0; 2), б) (1; 1). У

(ад)-}**;

Решение.

(0.2)

1

a) dz

(i.i) A-V = Ах-Ay.

(u)-^"7

(0.2) "A*" у

б) Ио.')=}

В главе 2 было приведено несколько примеров, демонстрирующих полезность приближенного равенства Ay ~ dy для функции у j{x) одной переменной. Успех применения приближенного равенства Ау « ау объясняется тем, что его ошибка (для дифференцируемой функции j[x)) является бесконечно малой более высокого порядка, чем Ах, при Дх —> 0. Аналогичную роль для функции z от двух переменных играет приближенное равенство

Az~dz. (3.5)

При этом желательно, чтобы ошибка от замены Az на dz была бесконечно малой более высокого порядка, чем расстояние р от точки (х, у) до точки (Хр у0), когда Дх -> 0, Ау -> 0. Для выполнения этого требования недостаточно (см. § 3.3) существование частных производных zx и z в точке (Хр у0), поэтому вводится следующее понятие.

Определение. Функция z -fi,x, у) называется дифференцируемой в точке {xv _у0), если ее полное приращение можно представить в виде

& = f(x,y) f(x0,y0) = fx'(x0,y0)Ax + f;(x0,y0)Ay + єр (3.6) или, короче,

Az = dz + єр,

где є = є (Дх, Ау) функция, бесконечно малая при

Дх -> 0, Ду-> 0;

р = -у/(Дх)2 + (Ду)2 _ расстояние от точки (х, у) до точки

Если функция z =J{x, у) дифференцируема в точке (х^ у0), то ее полное приращение можно представить в виде (3.6), откуда ошибка в приближенном равенстве (3.5) будет Az-dz =єр. Следовательно,

Az — dz ,. і

hm = hm є(Ах,Ау) = 0,

Д>-»0 p Lv->0

т.е. сформулированное выше требование малости ошибки выполняется для дифференцируемой функции.

Замечание . Дифференцируемость функции z =J[x, у) в точке (Хр уй) предполагает наличие производных z'x и z'y в этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует, то функция не является дифференцируемой в точке

Запишем линейный аналог уравнения (3.6), отбросив слагаемое єр:

z-f{xQ,y0)=AtWoX* " *о) -^'(WoX-V-Уо (3 -7)

Уравнение (3.7) в координатах х, у, z задает плоскость, которая называется касательной плоскостью к графику функции fix, у) в точке М(ху y^,fixv у0)).

Можно доказать, что для любой последовательности точек {NVN2,...}, принадлежащих графику функции z =Дх, у) (и отличных от М), угол между прямой MNt и касательной плоскостью (3.7) стремится к нулю.

Пример 3.4. Найти уравнение касательной плоскости к графику функции z = ху в точке (3 ;4).

Решение. Используя формулу (3.7), находим уравнение касательной плоскости:

2-12 = 4(д:-3) +3(^-4)

или

4x + 3y-z = 12.

Теорема 3.1. Если функция z fix) дифференцируема в точке (xff у0), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Необходимо проверить, что Az—>0, когда Дх-»0 и Ау->0. Этот факт устанавливается следующим вычислением:

lim Az \m[dz + єр) = z' ■ lim Ax + z' ■ lim Ay+ lim £■ lim p= z;o+z;o+oo = o.