§ 3.6. касательные прямые и плоскости

§ 3.6. касательные прямые и плоскости

Напомним, что множеством уровня функции п переменных fix{, хп) называется множество всех точек х є R?, координаты которых удовлетворяют уравнению fix{, хп) = С, где С фиксированное число. В случае п=2 множество уровня называется линией уровня, а в случае п=3 поверхностью уровня функции.

Отметим, что линия уровня может и не быть линией в привычном смысле этого слова. Например, множество уровня функции

f(x,y) = x + \-x + y + l-y, заданное уравнением fix, у) = 2, является квадратом.

В то же время, если множество уровня функции двух переменных можно представить как график некоторой функции от одной переменной, то множество уровня действительно является линией уровня.

Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 3.5. Пусть fix, у) функция, имеющая непрерывные частные производные f' х(х, у), f їх, у) в открытом' множестве D; С фиксированное число; Щх^ ys) є D точка, такая, что fiM) = С и f у(М) Ф 0. Тогда найдется такая дифференцируемая функция <р(х), что в некоторой окрестности точки М множество решений уравнения fix, у) = С совпадает с графиком функции у <р (х).

Замечание. Поскольку М решение уравнения Дх, у) = С, и М содержится в любой своей окрестности, то для функции^) (х) из теоремы 3.5 автоматически выполняется равенство y0=<p(xQ).

Для функции fix, у), имеющей непрерывные частные производные, из теоремы 3.5 вытекает важное следствие: всякая линия уровня в достаточно малой окрестности любой своей точки М может быть представлена как график дифференцируемой функции, если только grad ДА/) Ф 0. Действительно, если/ (М) Ф 0, то линия уровня это график функции у =<р(х). Если//М) Ф 0, то, поменяв ролями хну в теореме 3.5, получим, что линия уровня это график функции х = if/ (у). Кроме того, частные производные /Х(М) и f (М) не могут одновременно обратиться в нуль, так как grad fiM) Ф 0.

Поскольку локально линию уровня можно представить как график дифференцируемой функции, то теперь мы можем найти уравнение касательной к линии уровня. Пусть, как и выше, линия уровня задается уравнением

f{x,y) = C (3.21)

и М (х0, у0) точка на этой линии уровня, т.е. fiM) = С. Предположим, для определенности, что /у(М) Ф 0. Тогда по теореме 3.5 уравнение (3.21) можно локально разрешить относительно у в виде у =(р{х). Уравнение касательной к графикуу =<р (х) в точке М запишется следующим образом:

У = Уо + Р'(*оХ* " *<>)• (3.22)

Уравнение (3.22) это и есть уравнение касательной к линии уровня (3.21) в точке М. Такая форма записи, однако, является не достаточно эффективной, так как предполагается, что <р(х) известная функция. В действительности знать явный вид функции <р(х) необязательно, поскольку производную <рхЛ можно выразить через частные производные функции fix, у). Найдем для этого производную сложной функции fix, (р(х)) двумя способами. С одной стороны

/(*,*(*))= п{х,<р (х))-1+/;(х,Их)М*).

С другой -Следовательно,

*Ы = "7ЙЧ (3-23)

Подставив выражение (3.23) в формулу (3.22), после алгебраических преобразований получим уравнение касательной к линии уровня вида

. f:(M){x-xo) + f;{M){y-yo) = 0. (3.24)

Из аналитической геометрии известно, что вектор коэффициентов при х и у в уравнении прямой перпендикулярен к данной прямой и называется вектором нормали.

Пр им ер 3.10. Найти уравнение касательной к линии уровня функции z \]ху2 вточке(1;1).

Решение. Используя формулу (3.24), получим уравнение

1 2

-(дс-1) + -(>>-1) = 0или х + 2>> = 3.

Рассмотрим теперь функцию трех переменных fix, у, z). Пусть уравнение

f(x,y,z) = С (С = const) (3.25)

задает непустое множество уровня S * 0. Пусть М(х0, yQ, z0) Є S -какая-то точка из этого множества. Если частные производные функции/*, j/, z) непрерывны и gradfiM) * 0, то уравнение (3.25) в окрестности точки М можно разрешить либо в виде z =q(x, у), либо в виде у = if^x, z), либо в виде х =Жу, z), rje<p,4/,x дифференцируемые функции. Данное утверждение является аналогом теоремы 3.5 для функции трех переменных. Следовательно, множество уровня S локально можно представить как график дифференцируемой функции двух переменных, что оправдывает его другое название поверхность уровня.

С помощью рассуждений, аналогичных тем, что использовались при выводе уравнения касательной прямой к линии уровня, из уравнения (3.7) нетрудно получить уравнение касательной плоскости к поверхности уровня функции fix, у, z) в точке М(х0, у0, z0) следующего вида:

f'(Mx х0) + //(Лф у0) + f'(Mz zQ) = 0. (3.26)

Вывод: градиент gradfiM) функции fix, у, z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня функции в точке М.

Пусть, например, поверхность уровня S задается уравнением

x2+y2+z2=r2,

т.е. 5сфера радиуса г с центром в начале координат. Для любой точки М(х, y,z)ES имеем gradfiM) = (їх; 2у; 2z) = 2 ОМ. Следовательно, касательная плоскость перпендикулярна радиус-вектору точки касания.

Пример 3.11. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности уровня функции х2 +ІУ2 + 3z2 в точке (1; 1;-1).

Решение . Используя формулу (3.26), получаем следующее уравнение 2(1)(х1) + 4(1 + 6(-l)(z +1) = 0 или

х + 2у Ъг = 6.