§ 3.7. предельная полезность и предельная норма замещения
§ 3.7. предельная полезность и предельная норма замещения
Основным понятием теории потребления является функция полезности U(x, у). Эта функция выражает меру полезности набора (х, у), где х количество товара X, а у количество товара Y. Чувствительность набора (х,у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью х и определяется как частная производная U'x. Аналогично предельная полезность^ определяется как U'у. Чаще всего линии уровня функции полезности (их еще называют кривыми безразличия) являются графиками убывающих функций. Поэтому мы будем считать, что для точек А(х0, у0) и В(х0 + Ах, у0 + Ау), расположенных на одной линии уровня приращения Дх и Ду имеют разные знаки (рис. 3.4).
Пусть, для определенности, Дх > 0, а Ау < 0. В этом случае говорят, что Дх единиц первого товара замещается на (Ду) единиц второго товара (имеется в виду переход из В в А).
Предельной нормой замещения хна у в точке А(х0, у0) называется предел отношения когда точка В стремится к
А, оставаясь на одной с А линии уровня функции U{x, у). Предельная норма замещения обозначается MRS^ или MRS^i А) если необходимо явно указать ее зависимость от точки А.
Пусть /касательная к линии уровня функции U{x,y) в точке А. Из рис. 3.4 ясно, что секущая АВ стремится к /, когда —В стремится к А, поэтому
MRSxy(A)=-tga, (3.27)
где аугол наклона касательной /. Согласно формуле (3.24) мы можем записать уравнение I в виде
и;(А)(х-Хо) + и;(А)(у-у0) = о,
или
U'x(A)<
у = Уо~1Щ^~Хо><3-28)
Из уравнения (3.28) следует, что tg а (угловой коэффициент касательной) равен-~|^|. Используя равенство (3.27), получаем формулу:
Вывод: предельная норма замещения одного товара другим равна отношению их предельных полезностей.
Пример 3.12. Найти предельную норму замещения х на у для функции полезности U(x,y) = In д: + In у в точках: а) (3; 12), б) (2; 1).
Решение. г). Но формуле (3.29) получаем
и у x
поэтому MRSJ3; 12) =4.
б). Аналогично находим MRS (2; 1) = 0,5.
Экономический смысл предельной нормы замещения можно понять из следующего примера. Предположим, что MRS^ = 2, т.е. одна единица товара по вкладу в общую полезность набора эк172
вивалентна 2 единицам товара У. Пусть р цена X, q цена У. Тогда стоимость набора (х, у) будет рх + qy. При замене в этом наборе одной единицы Хна две единицы К стоимость набора изменится на 2q р. Если же, наоборот, две единицы У заменить на одну единицу X, то стоимость набора изменится на /> 2q. Предположим теперь, что (jc*, у*) самый дешевый набор при заданном уровне полезности Щх, у) = const. Тогда получаем, что указанные выше изменения стоимости должны быть неотрицательными: 2q-p>0, р-2q> 0. Следовательно, р = 2q. Ясно, что двойка в приведенных выше рассуждениях может быть заменена любым другим числом, так что фактически мы обосновали равенство
MRSxy(x*,y*) = ?-.
Это же самое равенство, хотя и при других предположениях, еще раз будет получено в § 15, где оно используется для вывода функций спроса.
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы