§ 3.8. эластичность функции нескольких переменных

§ 3.8. эластичность функции нескольких переменных

В § 2.8 было введено понятие эластичности функции одной переменной. Аналогично вводится понятие эластичности функции нескольких переменных. Пусть, например, z -j[x, у) функция двух переменных; Axz = f(x0 + Ах,у0)~ f{x0,y0),

Д vz = f(xQ,y0 + Ay)f(xQ,y0) ее частные приращения.

Определение. Эластичностью функции г~/(х, у) в точке (х0, у0) по х называется предел

Ах]

&x->0K z х У

Эластичностью z по у в той же точке называется предел

. (A z д>Л

Ezy{xQ,y0)= lim :— .

z у J

Говорят, что Еа коэффициент эластичности z по х, aEv -коэффициент эластичности z по у (обозначение точки часто опускается).

Из определения вытекают следующие формулы:

Ea(x,y) = -z'x =x( z)'x, z

Ety{x,y) = ^zy=y( zyy, (3'30)

Пр и мер 3.13. Найти коэффициенты эластичности по х и по у функции z ху в точке (2;3).

Решение. Согаасно формулам (3.30) имеем Еа(х,у) = x( z)'x = x(ylnx)'x = у, Е^х^у) = y( z)'y = y(yhix)'y = yinx.

Следовательно, Еа (2;3) = З, Е^(2;3) = 3 In 2.

Формулы (3.30) полностью аналогичны формулам, которые использовались при выводе свойств 1-3 эластичности в § 2.8. Поэтому первые три свойства эластичности справедливы и в случае функции нескольких переменных. Третье и четвертое свойства также сохраняются, но формы их записи становятся сложнее. Остановимся подробнее на этих свойствах.

Свойство 4'. Для функций z =J(x, у), х = (p(j) и у -эластичность 2 no t в точке х0 находится по формуле

ЕЙ=Е^Ех,+ЕгуЕу1, (3.31)

где Еа, Е^ эластичности? похиув точке (<p(t0), Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.), а Ех1, Еу эластичности х и уЛо t в точке t0.

Доказательство. Используя формулы (3.30) и (3.11), находим

е2, = -г/ = \%х; + Z'yy;) = *1х;+Z2;-у; =

2 Zy ' Z X Z 'у

~ EzxExl + EzyEylДля того, чтобы сформулировать аналог пятого свойства эластичности, рассмотрим

Определение*. Пара функций х = g,0,, у2), х= g2(yp у2), называется обратной для пары функций .у, =/,(*,, х2), y2=f2(xv х2), заданных на множествеХс: R2, если для любой точки (дс,, х2) из X выполняются равенства:

Х = g(f (*И*а 1/і(Х^Х2) Х2 = Si (/| (*.> Х2 )' Л (*1. Х2 ))•

Пример 3.14. Найти пару обратных функций для функций .у, = х, + х,у2 = х, -2х2, заданных в RJ .

Решение. Из равенства у2 = х, 2х2 следует, что дг, = у2 + 2х2. Поэтому у{ =у2 + 2х2 + хг2 =у2 -1 + (1 + х2)2. Находим

хг ±7^1 У2 + 1 ~ 1» однако, учитывая, 4to(x, ,х2) є R, имеем х2 = ■у/д'і ~ Уг + 1 ~ Следовательно, х, = у2 + 2^Jyt у2 +1 2.

Для любой пары функцийу} =/ (дс,, х2), y2=f2(xt, х2) имеем 4 коэффициента эластичности ЕУіХ {і = 1,2; j 1,2). Записав их в виде таблицы, получим матрицу размера 2x2:

ЕУ^ ЕУ*і

Еух =

Элементы этой матрицы, расположенные вне главной диагонали, называются перекрестными коэффициентами эластичности.

fEx.v.

ЕхуЕух 1 Данное определение является частным случаем определения обратного отображения.

Свойство 5'. Пусть дг, =£, {у,, у,), x2=g2(yx, у2)"ара обратных функций для функций ух=/х{хх, х2), у2=/2(Х], х2). Тогда матрица коэффициентов эластичности Е^ является обратной к матрице Еух.

Так как в результате умножения получилась единичная матрица, то и Еуц взаимно обратные матрицы.

Коэффициенты эластичности используются при анализе функций спроса при любом числе различных товаров. В качестве примера рассмотрим случай с двумя товарами. Пусть х количество /'-го товара, pt его цена (/ = 1,2). Для пары дополняющих товаров (например, чай и сахар) или заменяющих товаров (например, масло и маргарин) естественно считать, что спрос на каждый товар зависит от обеих цен рх и р2:

U=D2(Pl,P2). (3-32>

Предположим, что не только цены определяют спрос, но и, напротив, спрос определяет цены. Иными словами, будем считать, что систему (3.32) можно разрешить относительно рх ир2 в следующем виде:

Рг=РА*,*г (3-33)

Системы (3.32) и (3.33) определяют две пары взаимно обратных функций. Согласно свойству 5' матрица коэффициентов эластичности цен по спросу может быть найдена как обратная матрица

Ерх = (£хр) ' к матрице Ехр коэффициентов эластичности спроса по ценам. Заметим, что в случае, когда перекрестные коэффициенты не равны нулю, Ерх * —-—. Действительно, используя изЕх,Р,

вестную из линейной алгебры формулу для обратной матрицы, находим, что

p,Xl F F — F F

Ргхг F F — F F § 3.9. Однородные функции.

Формула Эйлера

Пусть D с R" область в R" , содержащая вместе с каждой своей точкой (*,, хп) и все точки вида (/*,, txn) при / > 0. ФункцияДд:,, хп) с такой областью определения D называется однородной степени а, если для любого / > 0 выполняется равенство

f(tx[,...,txn) = taf{x{,...,xn).

Однородный многочлен степени и является, очевидно, однородной функцией той же степени однородности. Например, многочлен z = Xі 2ху + Зу2 является однородной функцией степени 2.

Степень однороднности а может быть любым действительным числом. Например, функция

V / у

является однородной функцией степени 2я от переменных х и у. Примером однородной функции степени 1 может служить производственная функция Кобба-Дугласа* f(K, Lj = СКУ4 Li/4.

Предположим, что дифференцируемая функция fix, у) является одновременно и однородной функцией степени а. Фиксируя произвольную точку (х, у) для любого / > 0, имеем

f(tx,ty) = taf(x,y).

Продифференцируем левую и правые части этого равенства по t (левую часть по правилу дифференцирования сложной функции, правую часть как степенную функцию). В результате приходим к тождеству

fx x,ty)x + f;(tx,ty)y = at°-'f(x,y).

Положив здесь t = 1, получим формулу Эйлера: Л(х,у)х + /;(х,у)у = af(x,y).

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функции от любого числа аргументов. Например, формула Эйлера для функции трех переменных и =J[x,y, z) выглядит следующим образом:

fx'(x,y,z)x + f;(x,y,:)y + f:'(x,y,z)z = af(x,y,z) или, короче,

и'жх + и'уу + и':2 = а и. (3.34)

Предположим, что функция и =j{x, у, z) не обращается в нуль в некоторой точке (х0, у0, z0). Разделив тогда левую и правую части равенства (3.34) на значение функции в этой точке, получим формулу

Еш + Еп + Еи: = а, (3.35)

где Еш, Еиу, Еш коэффициенты эластичности и по х, по у и по z в точке (х0, у0, г0).

Пример 3.15. Проверить соотношение (3.35) для функции

x

и .

у + =

Решение. Находим Еш = 1,Е = ——,Еиг = ——.

у + z у + Z

Следовательно, Еш + Еиу + Еш 0, что согласуется с равенством (3.35), поскольку степень однородности функции и равна 0.