§ 3.10. частные производные высших порядков
§ 3.10. частные производные высших порядков
Пусть D с R1 открытое множество в К1, J[x, у) определенная на множестве D функция. Предположим, что в каждой точке М є D существуют частные производные f[ и /'. Тогда
частные производные /Дх,_у) и /Дх,у) естественно считать функциями с областью определения D. Они называются частными производными первого порядка. Частные производные от функций /х'(х,у} и fl{x,y) называются частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) от функции fix, у). Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) и т.д.
сятак:
Если первая производная функции z = jf(x, у) была взята, ска-"'«*** "n г то ее частные производные в точке (xQ, у0) обозначают
или
Зс1 аХёс) дх1 ' дудх дудх) су&
Аналогичные обозначения используются и для других частных производных. Например, zyx =(zy)x, z'^ =(z'y)'y,
и т.д.
Определение. Частные производные второго порядка z'^ и z'p называются смешанными частными производными.
Пр им ер 3.16. Найти все частные производные второго порядка от функций: a), z = х3 + у2 + 5х2у; б), z = arctg —.
У
Решение.
a) z'x = Ъх1 + Юху, г'у = 2у + 5х2.
Следовательно, г" = 6х + Юу, z'^ =2, z'xy-z'yx = 10х.
у , -х б) Имеем Z*=-J^y'z>-хг+у*'
Следовательно,
2ху 2ху „ „ = . х2-у2
г" -(7+7Г>♦/)'' ' ('!+^
178
12*
В примерах 3.16 а) и б) смешанные частные производные от одной и той же функции 2 совпадают. Являются ли данные совпадения случайными, или они следствия какого-то общего правила? Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.
Теорема 3.6. Если производные f^(x,y) и fyX{x,y) существуют в некоторой окрестности точки М(х0,у0) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство
f;;{M) = f;(M). (з.зб)
Доказательство. Определим выражение Wформулой: W = [f(x0 + Ах,у0 + Ау) /(х0 + Ах,у0)] [/(хо>Уо + 4у) /(*о.И>)]Это выражение совпадает с приращением на отрезке [х,, х0 + Ах) функции <р(х) = fx0,y0 + Ay) fx,y0). По теореме Лагранжа о конечных приращениях найдется точка х, є (х0, х0 + Ах), в которой выполняется равенство W = А<р = <р'(хх)Ах или W = [f;(xx,y0 + Ay)fxx,y0)]Ax. Применяя теорему Лагранжа теперь к функции у(у) = ff(xx,y), найдем точкуух є (у0,у0+ Ау), в которой Ау/ = у/ух)Ау. Следовательно,
W = [/,'(*,,Л + Ау) /;(х, ,Уо)]Ах = = Ау(у0)Ах = <ф,)ДхДу = f^(xuyt)AxAy. (3'3?) С другой стороны, для функции
t(y) = f(x0 + Ах,у)f(x0,y) выражение IF можно представить как приращение ^у) на отрезке
А£ = [/(*о + Д*.Уо + Ду) ~ /(Wo + Ау)] ~ -[/(*„ + Ах,у0)-/(х0,^0)] = W. Аналогично находим, что
W = f£(x2,y2)AxAy, (3.38)
где х2 є (х0, х0+ Дх),уге (у0, у0 + Ау). Сравнивая формулы (3.37) и (3.38), получим
К{*чУі)~/£{*г*Уг (3.39)
причем х, -> х0,х2 -> х0, когда Дх -> 0, и ух -> Уо,^ -> >0, когда Д>> —> 0. Поскольку смешанные производные по предположению непрерывны, то, переходя к пределу в равенстве (3.39) при Дх -> 0, Ау -¥ 0, получим равенство (3.36).
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы