§ 3.11. локальный экстремум функции двух переменных

§ 3.11. локальный экстремум функции двух переменных

Пусть функция /(х, у) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки А/0(х0, у0).

Определение. Точка М0 называется точкой локального максимума (минимума) функции fix, у), если существует такая окрестность точки М0, в которой для любой точки М(х, у) выполняется неравенство f(M) < f(M0)

(f[M)>AM0)).

Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума или просто точками экстремума.

Теорема 3.7 (необходимое условие экстремума). Если функция f[x, у) имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М0(х0, у0), то

/;(H)=/;w=oДоказательство. Рассмотрим сначала функцию одной переменной Дх, у0). Производная этой функции совпадает с частной производной/'(х,у0), а сама функция имеет локальный экстремум в точке х0. По теореме 2.13 производная функция fx, у0) в точке х0 равна нулю, т.е. f'x(xQ, у) = 0. Аналогично функция одной переменной fx, у0) имеет локальный экстремум в точке у = у0. Следовательно, ее производная в этой точке равна нулю, т.е. /;(х0, у0) = 0.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки М0, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль, grad fM0) 0. Как и в случае функции одной переменной,такие точки называются стационарными. Стационарные точки функции fix, у) можно найти, решив систему уравнений

/„■(.,)-а <3-40>

Пример 3.17. Найти стационарные точки функции

г = Xі -Зх + уА -2у2.

Решение. Система (3.40) имеет вид

J z'x = Зх 3 = о 2'у = 4у3 Ау = 0.

Из первого уравнения находим х = ± 1. Из второго находим у = 0,± 1. Следовательно, имеется шесть стационарных точек: (1 ;0), (1;1),(1;-1), (-1;0),(-1;1)и(-1;-1).

Условия теоремы 3.7 не являются достаточными условиями существования экстремума. Например, для функции fix, у) = х1 -у2 частные производные первого порядка равны нулю в точке (0; 0), однако эта точка не является точкой локального экстремума. Действительно, в любой окрестности точки (0; 0) существуют точки вида (х; 0), в которых Дх, 0) >fi0, 0). Поэтому (0; 0) не является точкой локального максимума. Аналогично в любой окрестности точки (0; 0) существуют точки вида (0; у), в которых/0, у) <fi0,0). Поэтому (0; 0) не является точкой локального минимума.

Теорема 3.8 (достаточныеусловия экстремума). Пусть функция fix, у) имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки М0(х0, у0). Положим А = /^(Л/0)/;',(Л/0) (/;'(М0))2. Тогда:

если А > 0, то в точке Мд функция имеет локальный экстраум, причем при f'xx (MQ) <0 локальный максимум, при /"„(Л/0) > 0 локальный минимум;

если А < 0, то в точке Мд нет экстремума.

Доказательство. 1). Пусть д > 0. Рассмотрим функцию

гкх,у) = /£{х,у)/£{х,у) (/;;(х,у))2.

Эта функция непрерывна, поскольку непрерывны частные производные /«, fyy и . Кроме того, D(x0, у0) > 0. По теореме о сохранении знака непрерывной функции найдутся такие окрестности точки М0, в которых функции D(x, у) и f'x'x(x,y) имеют постоянные знаки. Пусть U меньшая из этих окрестностей, М[(хд + Ах, у0 + Ау) произвольная ее точка. Тогда отрезок М0 М, целиком содержится в U, а всякая его точка имеет вид М:( х0 + tAx, yQ + tAy), t Є [0; 1]. Из определения окрестности U следует, что D(M) > 0 и f"x(M) имеет тот же знак, что и /"^(МХ Рассмотрим функцию <p(t), заданную на отрезке [0; 1] формулой:

<p{t) = /(о + tAx,y0 + (Ау) = /(Л/,).

Имеем

=/;(ч)д+/;(л/,)4у;

«?"(') = /^М.УахУ +2/^(м)АхАу + /^мАу)г.

Положим^, = f»(M,B, = Л;(М,),С, = /;(Л/(). Тогда <p"(t) = Л,-'[л/(Дх)2 + 2Л,В,ДхДу+ Л,С,(ду)2] =

= а;(а,ах + B,Ayf +(а,с, -д'Хау)1]Так как а, С, в] = D( м,) > 0, то ср "(t) имеет тот же знак, что и а ~]. Далее, а~ = f^(M,y af^(Mt) имеет тот же знак, что и/^(М0). Поэтому функция <p"(t) имеет постоянный знак, совпадающий со знаком f^(M0).

Пусть f^(MQ) <0. Тогда функция <p'(t) убывает на отрезке [0;1]. Кроме того, (р'(0) = /ДМ0)Дх +/ДЛ/о)Ду = 0, поскольку М0 стационарная точка функции fix, у). Следовательно, <p{t)<0 на интервале (0; 1). Поэтому функция <p(t) убывает на отрезке [0; 1], и <р(0) = /(М0) > <р(1) =/(Л/,).Таким образом, если f^(MD) < 0, то/(М0) наибольшее значение функции в окрестности 11. Если же f^(M„) > 0, то аналогично доказывается, чтоДМ0) наименьшее значение функции в окрестности U точки (М0). Итак, в случае А > 0, точка (Мд) является точкой локального экстремума.

2). Пусть Д < 0. Рассмотрим квадратное уравнение

Так как ц/« (М0))2 -4/£(М0)/£ (Л/0) = ^ Д > 0, то данное уравнение имеет два действительных корня и s2. Следовательно, квадратичная функция r(s) = fZ(M0) + 2f£(M0)s + f£(M0)s1 принимает значения различных знаков внутри и вне отрезка [sv s2]. Поэтому можно выбрать числа q и р так, чтобы выполнялись неравенства yA[q)<0 и уЛр)>0. Для любого s е R рассмотрим функцию (ps{x) =f (х, у0 + s(x х0)). Имеем

<Р',{х) = fj(x,y0 + s(x -х0)) + f;(x,y0 + s(x x0))s. Откуда <p's(x0) = /;(Wo) + fy{x0,y0)s = 0. Далее находим

9>"(х) = /£(х>Уо + s(x ~х°)) + 2Д(х>Уо + s(x ~ xo))s +

+ />>'(*>>'о + ф-'-*о))-*2; <ы = /»{х0,у0) + 2f;;(x0,y0)s + /;;(х0,Уоу =

Из непрерывности вторых частных производных функции fix, у) в окрестности точки М0 следует непрерывность функции <р"(х) для любого 5. По теореме о сохранении знака непрерывной функции, найдутся такие окрестности точки х0 на числовой прямой, в которых функции^"(х) и (р"(х) не меняют знака. Пусть (х0 є, х0+є) -меньшая из этих окрестностей. Так как <р"(х^ = y/(t)<Q, а (р"р(х0)= ц/ (р)>0, то функция <р"(х) (соответственно, <р"(х)) принимает отрицательные (соответственно, положительные) значения на интервале (х0-е , х0 + є). Далее, <р'(х0) = 0 и <р"ч(х) < 0 на интервале (х0, х0 + є), поэтому <р (х) убывает на отрезке [х0, х0 + є]. Аналогично, р 'р(х0) = 0 и <р" х) > 0 на интервале [х0, х0 + є], поэтому рр(х) возрастает на отрезке [х0, х0 + є].

Рассмотрим точки Q(xQ+ є, _у0+ q є) и Р(х0 + є, yQ + p€) . Так как функции рч(х) и р(х) это, фактически, ограничения функции J[x, у) на отрезки M0Q и М0Р, соответственно, то Дд:, у) убывает на отрезке M0Q и возрастает на отрезке MP. Точка М0 не является точкой локального экстремума функцииДд:,>), поскольку в сколь угодно малой окрестности точки М0 найдутся точки на отрезке М0Р, в которых значения функции больше ДМ0), и точки на отрезке M0Q, в которых значения меньшеДЛ/0) (рис. 3.5).

Пример 3.18. Исследовать на локальный экстремум функцию

z-Xі -3x-(jc + l + arctg.y)2.

Решение. Найдем стационарные точки, решив систему уравнений

'z'x = 3х2 -3-2(x + l + arctg>■) = (), z =-2(x + l + arctg>')(l + >'2) ' =0.

Из второго уравнения вытекает, что х + 1 + arctg у = 0. Следовательно, z' = Зх2 3 = 0. Откуда х = ± 1. Так как larctgу < — < 2, то х + 1 + arctg у * 0 в случае х = 1. Если же х = -1, то х + 1 + arctg у = 0 => у = 0. Итак, имеется только одна стационарная точка М(-1; 0). Находим частные производные второго порядка: z"JM) = -8; z"yy(M) = -2; z';,(M) = -2. Поскольку z "я(А/) < 0 и Д = (8) • (-2) (-2)2= 12 > 0, то по теореме 3.8 точка М является точкой локального максимума. Интересно отметить следующее: несмотря на то, что точка М является единственной стационарной точкой всюду дифференцируемой функции z, эта точка не является точкой глобального макс мума. Действительно, z(M) = 2, однако существует точки, в к. торьгх значение z больше. Например, z(10;0) = 849 > 2.

В заключение параграфа рассмотрим экономические примеры, связанные с производственной деятельностью фирм.

Пусть z количество продукции, выпущенной некоторой фирмой; х,узатраты ресурсов двух видов; z = Q(x, у удифференцируемая функция, устанавливающая связь дг, у и z. Предположим, что величины х, у, z заданы в натуральных единицах, и рх, ру, ptсоответствующие этим единицам постоянные цены. Тогда выручка (валовой доход) будет R(x, у) =рг Q{x, у), а функция прибыли запишется следующим образом:

л(х,у)= R(x,y)-рхх-Р>у (3.41)

Пусть z* оптимальный (с точки зрения прибыли) выпуск продукции; х*, у* соответствующие затраты ресурсов. Если точка М(х*,у*) является внутренней точкой области определения функции я(х, у), то М — точка ее локального максимума. Согласно необходимому признаку локального экстремума, в точке М обращаются в нуль частные производные первого порядка:

<(м)=л;(л/)-л=о,

n[(M)=R[(M)-Px = 0, или

Шм) = Рх,

;(m) = pv. <3-42>

Выводв точке локального максимума прибыли предельная выручка от каждого ресурса совпадает с его ценой Этот вывод сохраняется и в более общем случае, когда цена

р2 зависит от объема выручки: рг = рг (Q). Действительно, тогда R(x, у)= pz{Q(x, y))Q{x, у), однако частные производные л'х, л' и система (3.42) имеют прежний вид.

Рассмотрим теперь фирму-монополию, которая продает свою продукцию на двух независимых рынках. Пусть р:, qt соответственно цена и количество продукции, проданной монополией на /-м рынке (/ =1, 2). Из независимости рынков вытекает, что цена /?, не зависит от qv т.е. рх = р,(о,). Аналогично р2 = p2(q2). Пусть C(q) дифференцируемая функция издержек. Тогда функция прибыли имеет вид

В точке локального максимума прибыли имеем

= Р1Я2 +Р2-С' = р2(ЕРіЧі + 1) С = 0.

Из данной системы уравнений следует, что p](Ep(j+) = PiiEpiqi + !) Отсюда получаем отношения цен:

^ = ^**-. (3 44)

Рі і + ер,ч,

Пусть е эластичность спроса на г-м рынке по цене на 7-м рынке 0,7 = 1,2). Так как рынки по предложению независимы, то, используя свойства эластичности функции одной переменной, получим

Следовательно, отношение цен имеет вид

Pt 1 + е\

тгт^г <345>

Пр им ер 3.19. На сколько процентов цена на втором из двух независимых рынков выше, если эластичность спроса на первом рынке (-2), а на втором (-1,5)?

Решение. Используя формулу (3.45), находим

Р2 _ И-2)~' = 1-0,5

Л 1,5)-' "1-2/3'■

Следовательно, на втором рынке цена на 50\% больше.

Я*2

Замечание. В случае зависимых рынков для отношения цен можно получить формулу, аналогичную (3.45), используя свойство 5' эластичности функции двух переменных:

Д + е21 +

Р . Ч2е2

у' Д + е, ->-±±-^Р2 <?2

Ш

* = РЧ +Р2а2-С(Я+Я2)

(3.43)

где Д = еие22 -£ге2