§ 3.12. условный экстремум
§ 3.12. условный экстремум
Пусть функция j{x■, ....,хп) от п переменных определена в области D a R" и пусть Хнекоторое подмножество в D.
Определение. Точка Р0 є X называется точкой условного локального максимума (минимума) функции / если для всех достаточно близких к ней точек Р є X выполняется неравенство
f{P)<f(P0) (f(P)<f{P0)). (3.46)
Точки условного локального максимума и точки условного локального мимимума называются точками условного локального экстремума или просто точками условного экстремума.
Отличие условного экстремума от обычного состоит в том, что неравенство (3.46) должно выполняться не для всех вообще точек Р, достаточно близких к Р0, а только для тех достаточно близких точек Р, которые принадлежат множеству X, в этом и состоит условность экстремума
Для приложений наиболее важен случай, когда множество X задается с помощью некоторой системы уравнений и неравенств. Ограничимся пока случаем уравнений. Итак, пусть X задано системой
g](x],...,xn) = 0,
(3.47)
g,{xi>->x») = °>
гдеgx,...,gs-некоторые функциип переменных.
Уравнения (3.47) называются обычно уравнениями связи, так как они связывают значения переменных xv —,хп. Таким образом, возникает задача о нахождении экстремумов функции J(xхп) при условии, что переменные ххп связаны уравнениями (3.47). Если бы переменные не были связаны, то эта задача, по крайней мере в случае дифференцируемой функции/, решалась бы путем исследования ее стационарных точек. Оказывается, что и при наличии связей задача также сводится к поиску стационарных точек. Однако в данном случае точкам условного экстремума исходной функции / соответствуют стационарные точки другой функции.
Теорема 3.9 (необходимое условие условного экстремума). Пусть функции f и g., ...,gs определены и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки Р0, причем векторы
gradg,(/>0),...,grad^(P0) (3.48)
линейно независимы Тогда, если Р. точка условного экстремума функции f при условиях (3.47), то найдутся числа Я,,As для которых PQ стационарная точка функции
!(*,,...,*„) = f(xi,...,xK)+Xigi(xl,...,xH}+...+A,g,(xl,...,xn).
Функция L называется функцией Лагранжа, а числа Ар Яз множителями Лагранжа.
Доказывать теорему в общем случае мы не будем, а ограничимся частным случаем, когда число переменных равно 3, а число связей 2. Более того, примем, что Р0= (0; 0; 0), а уравнения связи имеют вид
Где, =0,
1*2 = 0Следовательно, множество X всех решений этой системы есть ось Oxv а ограничение функции/ на Хфункция одной переменной у(0, 0, х3). Так как (0; 0; 0) точка условного экстремума функции трех переменных f(xv xv х2), то 0 точка обычного экстремума функции одной переменной /(0, 0, дс3). Поэто<?/(0,0,0)
му —1 = 0. Для функции Лагранжа
дхг
L(x ,х2 ,.*з) = f(xx, х2, *з) + А,дГ| + Х2х2 частные производные имеют вид
дх дхх '' дх2 дх2 дхг дхг'
Как было доказано выше, в точке Р0 частная производная ^J— = о
на нулю в этой точке. Частные производные функции Лагранжа по хх и по х2 обращаются в нуль в точке Р0, если положить
jam, (3.49)
Х х2
Следовательно, Р0 стационарная точка функции Лагранжа, когда множители Лагранжа принимают значения (3.49). В частном случае теорема доказана. Для искушенного в математическом анализе читателя должно быть ясно, что данное доказательство по сути является общим, поскольку функции gt,...,gs можно принять за новые координаты в окрестности точки Р0.
Замечание 1. Если имеется только одно уравнение связи
g(x,,...,X„) = О,
то условие линейной независимости градиентов (3.48) сводится к условию grad g(P0) * 0, которое означает, что по крайней мере
одна частная производная дх отлична от нуля в точке Р0.
Замечание 2. Пусть Р* точка, в которой функция / принимает наибольшее (наименьшее) значение на множестве X. Тогда, очевидно, Р* точка условного локального экстремума функции ДР) при условии Р є X. Следовательно, Р* стационарная точка функции Лагранжа (при определенных значениях множителей Лагранжа), либо для Р* нарушаются условия теоремы 3.9.
Пример 3.20. Найти наибольшее значение функции / = х + у + z при условии
9х2 + 4у2 + z2 = 36. (3.50)
Решение. ПустьX a R1 множество всех точек Р(х,у, z), координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50). Поскольку из уравнения (3.50) вытекают неравенства |дг|< 2, у\< 3, |z|< 6, то X ограниченное множество. Так как левая часть уравнения (3.50) непрерывная функция, то Хеще и замкнутое множество.
Из непрерывности функции /= х + у + z следует, что она достигает наибольшее значение на Хъ некоторой точке Р*. Чтобы найти точку Р*, воспользуемся замечаниями 1 и 2. Запишем условие (3.50) в виде уравнения g{x,у, z) = 0, где
g(x,y,z) = 36-9x2-4y2-z2.
Таким образом, функция Лагранжа будет
L(x,y,z) = x + y + z + Л{36 9х2 4у2 z2).
Приравнивая нулю ее частные производные, получим систему уравнений, задающую стационарные точки:
' 1-18Ах = 0, • 1-8Я>' = 0, -2*2 = 0.
Следовательно, координаты стационарных точек следующим образом выражаются через множитель Лагранжа:
1 1 1
х- , у = —, г = —.
Ш 8А 2Х
Подставив эти выражения в уравнение связи (3.50), найдем зна7
чения множителя Лагранжа Я = ± —. Отсюда получим две ста72
D(4 9 36^1 „Г 4 9 36^1
ционарные точки: РА —; —;— и Р, ; ; .
v7 7 1) v 7 7 7 ) Проверим теперь условия теоремы 3.9 для произвольной точки Pq{xq, у0, z0) є X. Во-первых, вычисляя частные производные первого порядка функций /и g, нетрудно убедиться в том, что все они непрерывны в любой точке Р0 е Л3. Во-вторых,
grad g(P0) = (\%x0;-\%y0;-2zQ) * 0,
так как, если точка Р0 е X, то хотя бы одна из ее координат отлична от нуля. Итак, для любой точки множества Xвыполняются все условия теоремы 3.9, следовательно, точками условного экстремума / могут быть только точки Р{ и Р2. Поскольку АР[) = 7 >ЛЛ) = -7, то Р* ~Ру Таким образом, наибольшее значение /на X будет _ДР*) = 7.
Пример 3.21. Пусть U полезность набора товаров, состоящего из л: единиц первого товара, у второго и z единиц третьего товара. Найти стоимость наиболее дешевого набора товаров с заданным значением полезности U = 10000, если цена первого товара 4, второго 25, третьего 20, а функция полезности имеет вид U = xyz2.
Решение. Пусть S = 4х + 25у + 20z стоимость набора, X с R?множество всех точек Р(х, у, z), координаты которых удовлетворяют системе ограничений
і xyz2 =10000, [x>0,.>>>0,z>0.
Необходимо найти минимальное значение S на множестве X. В отличие от предыдущего примера множество Хне ограничено. Поэтому теперь мы будем рассуждать иначе. Найдем какую-нибудь точку А с заданным значением полезности U = 10000. Например, можно взять точку А(
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы