§3.13. выпуклые функции нескольких переменных

§3.13. выпуклые функции нескольких переменных

Напомним, что прямой в R" называется множество точек x(t) следующего вида:

x(t) = P + tV,t eR. (3.51)

где Р, V є R" фиксированы, причем V * 0. В координатной записи равенство (3.51) превращается в систему равенств:

х,(/) = р, + /V,.. .,x„(t)= pn+tvn.

Отрезком называется подмножество прямой, состоящее из точек x(t), для которых t є [0, 1]. Точки х(0), х(1) называются концами данного отрезка. Известно, что всякий отрезок АВ совпадает с множеством точек вида а А + (1 а )В, где а є [0; 1]. Множество X a R" называется выпуклым, если оно вместе с любыми своими точками А и В содержит и весь отрезок АВ.

-! 3-1*42

Пусть функция f(x) (в координатной записиД-*,» ...,*„)) определена на выпуклом множестве Ic R" . По аналогии с функциями одной переменной функция и переменных f(x) называется выпуклой на X, если для любых точек А и В из Хк любого а є [0; 1 ] выполняется неравенство

f(aA + (1 а)В) < of (А) + (1 я (3.52)

Функция f{x) называется строго выпуклой на X, если для любых различных точек А и В из А' и любого а є [0; 1] неравенство (3.52) выполняется как строгое неравенство. Функция Xх) называется вогнутой (строго вогнутой) на выпуклом множестве X, если функция -fix) является выпуклой (строго выпуклой) на X. Для того, чтобы функция была вогнутой на выпуклом множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любых точек А и В из Хи любого а є [0; 1] выполнялось неравенство

f(aA + (l а)В) >of(A) + (la)f(B). (3.53)

Из данных определений элементарно следует, что для выпуклой (строго выпуклой) функции fix) на выпуклом множестве X функция ajix) также является выпуклой (строго выпуклой), если а > 0. Если же а < 0, то функция afix) будет вогнутой (строго вогнутой) на X.

Рассмотрим линейную функцию п переменных вида

l(x) = filxl+...+fillx„+y. Пусть Л(а,, ап), 5(6,, 6J е R" и a eR. Тогда

1(аА+(1a)B) = Д [аа, +(1 «)*>,]+...+&[««,. + (і а)б„] + у = = а(Аа1+...+впаП +/) + (1_а)(Д6,+...+Д6л +У>

или

+ (1 а)я) = а/(л) + (1 а)/(Я) (3.54)

Из равенства (3.54) вытекают одновременно два неравенства (3.52) и (3.53) для функции fix) = /(х).

Вывод: линейная функция и переменных является одновременно выпуклой и вогнутой функцией в R".

Из свойств непрерывных функций следует, что множество значений непрерывной функции на выпуклом множестве является промежутком. Для линейной функции /(*) множество ее значений ІіХ) на X также является промежутком. Это утверждение можно получить либо из непрерывности /(*), либо непосредственно из равенства (3.54).

Теор ем а 3.10. Пусть Xcz R"~ выпуклое множество, /(jc) -линейная функция от х є R", fit) функция на промежутке ИХ), i=l, 2, *. Положим Fix) =/,(/,(*))+•■■+/,(/,(*))■

Тогда.

если каждая функция fit) (/ = 1, 2, к) выпукла (вогнута) на промежутке 1[Х), то F(x) выпуклая (вогнутая) функция на X,

если каждая функция fif) (і = 1, 2, к) строго выпукла (строго вогнута) на 1{Х) и для любой точки А є X единственным решением системы линейных уравнений

'/,(*)=/,(4

' (3.55)

h{x) = h{A),

принадлежащим множеству X, является точка х=А, то Fix) строго выпуклая (строго вогнутая) функция на X.

Доказательство. 1. Пусть А, В є X и а є [0; 1 ]. Для упрощения записей будем считать к=2. Пусть/,(/), f2it) выпуклые функции. Тогда, используя формулу (3.54), получим

1 F(aA + (1 а)В) = f (/,аА + (1 а)в]) + /2 [і2аА + (і а)в) = = /,(«/, (А) + (1 «)/, (В)) + /2 (al2 (А) + (~ a)l2 {В)) < < of, (/, (А)) + (1 «)/, (/, (В)) + of2 (l3 (A)) + (l-a)f2 (12 {В)) = = aF(A) + {-a)F(B),

т. е. Fix) выпуклая функция на X. Если /,(г), ./^(0вогнутые функции, то доказательство аналогично.

2. Как и выше, считаем к = 2. Пусть /,(/) строго выпукла на l.(X), a f2(t) строго выпукла на 12{Х). Тогда для различных точек А, ВєХи а є(0; 1) имеем неравенства:

+ (3.56,) /2(/2[а4 +(1 а)*]) < а/2(/2(Л)) +(l a)/2(/2(*)) (3.56,)

При этом неравенство (3.56,) является строгим, если /(5) */,(Л). Так как х = А единственное в X решение системы уравнений (3.55), а В еХ и В * А, то В не может являться решением системы (3.55). Поэтому либо 1ХВ) ±1ЛА), либо /2(5) *12(А). Складывая неравенства (3.56.1 ) и (3.56.2) (по крайней мере одно из них является строгим), получим

F(aA + (1 -a)B) <aF(A) + (l-a)F{B),

т.е. F{x) строго выпуклая функция на X. В случае строго вогнутых функций ДО строгая вогнутость F(x) доказывается аналогично.

Замечание. Если функции Д/) выпуклы (строго выпуклы, вогнуты или строго вогнуты) на всей числовой прямой R, то условие выпуклости (строгой выпуклости, вогнутости или строгой вогнутости) функции Д/) на промежутке lt{X) для любого выпуклого множества X с R" будет выполнено автоматически.

Пример 3.22.

а) . Пусть Д/), Д(/) строго выпуклые (строго вогнутые)

функции на числовой прямой. Доказать, что функция и переменных z =yj(x,) + ... + f„{xn) является строго выпуклой (строго вогнутой) В R" .

б) . Доказать строгую выпуклость функции z = х,2 + х,2 в R2.

в) . Доказать строгую вогнутость функции z = х,е?' е"в R2.

Решение, а). Пусть /,(х) = хі-я координатная функция, г=1 Для любой точки A(av..., ап) е R" система (3.55) имеет вид

[*| =а1.

[Л =ая,

и, очевидно, имеет единственное решение X = А. 196

б) . Частный случай а). Действительно, J(t) = t2 строго выпуклая функция, так как {t2)" = 2 > 0, a z можно представить в виде

*=/,(*,)+ /2(*2), где /,(0=Л(0 = ^в) . Положим fs(t) = t-e!, fJt) = е'. Поскольку у; "(О = е'< О

и/2"(0 = е'< 0, то ft(t) и f2(t) строго вогнутые функции на R.

Функция z =/.(х1) + /2(х2) является строго вогнутой в 7?2как частный случай функции z из примера а).

Пример 3.23. Пусть Хплоскость в R?, заданная уравнением х, + х2 + х = 1. Доказать строгую выпуклость функции z = x2 + х2 на X.

Решение . Имеем z =У(Л(х)) + $}г(х)), где j[t) = t1 строго выпуклая функция на R, а /,(х) = х , /2(х) = х, линейные координатные функции. Пусть A(av а2, <з3) є Хпроизвольная точка. Добавив к системе (3.55) условие х € X, получим систему ограничений

X, =а,,

х, + х2 + х3 = ах + а2 + аг = 1,

из которой следует, что х = А единственное решение системы (3.55), принадлежащее плоскостиX.

Если теорема 3.10 применяется к функциям Дх), которые обладают определенными свойствами выпуклости на промежутках, отличных от всей числовой прямой, то необходимо определить множества значений / (X). Для произвольной линейной функции п переменных вида

/(*) = /?,*,+..■+&*„+Г

перечислим возможные типы промежутков /(х) в следующих случаях:

Х R"все пространство;

Х= /?"-множество неотрицательных векторов; Ъ)Хвыпуклый многогранник.

В первом случае все просто: если хотя бы один из коэффициентов Д*0, то l(X) = R.

Во втором случае множество значений зависит от знаков чисел /?,,..., Дл. Так, если все Д > 0 и хотя бы одно из этих чисел строго больше нуля, то 1(Х) [у, + оо). Если все Д < 0 и хотя бы одно Д < 0, то 1{Х) = (да, у, ].

В третьем случае существуют: точка А, в которой 1(х) принимает наименьшее значение на X, и точка В, в которой /(х) принимает наибольшее значение на X. Положим а = 1(A), b = 1(B). Тогда 1(Х) отрезок [а, Ь].

Пр им ер 3.24. Проверить строгую вогнутость функций:

а) , z = Jx[ + Jx^ на множестве X = Л*;

б) . z=sin х, + sin х2 на множестве Х= {х, +х2 < л, х, > О, х2 > 0}.

Решение.

а) . Для линейных функций х, и х2 множества их значений на X

" 1

таковы: х,Ш = [о,+оо)и х2{х) = [о,+оа)■ Далее, (V7) ^J'"3'2 <0 при ґ > 0, поэтому функция -ft строго вогнута на промежутке

[о,+оо). По теореме 3.10 функция z = + у[х^ строго вогнута наХ.

б) . Наименьшее значение х, на Л"равно 0, а наибольшее значение, достигаемое в точке {л, 0), равно л. Аналогично, наименьшее значение х2 на Xравно 0, а наибольшее значение, достигаемое в точке (0; л), также равно л. Далее, (sin t)" = -sin t < 0

при / e(0; л), поэтому функция sin / строго вогнута на отрезке

[0; л]. По теореме 3.10 функция z = sinx, +sinx2строго вогнута на X.

Теорема 3.11. Пусть X<rR"— выпуклое множество, f(x) -выпуклая (вогнутая) функция на X,у/(t) возрастающая выпуклая (вогнутая) функция на множестве значений f(X). Тогда функция F(x) = у/(f(x)) выпукла (вогнута) на X. Если же f(x) строго выпукла (строго вогнута) на X, то и F(x) также строго выпукла (строго вогнута) на X.

Доказательство. Рассмотрим случай строго выпуклой функции Дх) и выпуклой функции у/ (t). Для любых различных точек А, В є Хп любого а є (0; 1) имеем

F(aA + (1 a)B) = y,(f[aA + (1 a)B]) < ys(of{A) + (l a)f(B)) < < ay,(f{A)) + (1 a)¥(f(B)) = aF(A) + (l a)F(B),

т.е. F(x) строго выпуклая функция на X. В остальных случаях доказательство аналогично.

Пример 3.25. Проверить строгую выпуклость в R2 следующей функции: z = (х2 + х22У.

Решение. В R1 функция Дх,, х2) = х,2 + х22 является строго выпуклой (см. пример 3.226). Множество ее значений на R2 -это множество всех неотрицательных чисел, т.е. ДЛ2) = [0, +«). Далее, для функции y/(t) = г] имеем у/'(0 = 3<2 > 0 и у/"(г) = 6/ > 0 при / > 0, поэтому yAj) возрастающая строго выпуклая функция на промежутке [0, +00)По теореме 3.10 z = v(/(x,,x2)) строго выпуклая функция в К* .

Пусть Р * Q две различные точки в R". Прямую, соединяющую эти точки, можно представить в виде PQ = {*(/) P + tV}, где V = PQ. Пусть Дх) функция п переменных. Ограничением функции Дх) на прямую PQ называется функция <p(t) = /(х(/)). Областью определения <p(t) является множество всех /, для которых точка х(г) принадлежит области определения функции Дх).

Теорема 3.12. Для того, чтобы функция Дх) была выпуклой (строго выпуклой, вогнутой, строго вогнутой) на выпуклом множестве X с R", необходимо и достаточно, чтобы для любых различных Р,Q є X функция <p(,t) = f(P + tPQ) была выпуклой (строго выпуклой, вогнутой, строго вогнутой) на отрезке [0;1].

Доказательство. Необходимость. Пусть V = PQ. Тог-да x(t) = Р + (V и для любых чисел /2, а выполняются равенства:

х(аґ, + (-a)t2) = P + (at] +(l-a)t2)V = = aP + atlV + (l-a)P+(l-a)t2V = m-(/,)+(l a)x(/2). Положив A = х(/,), В = x(t2), имеем

(({at, + (l a))t2 = /(х[са, + (l a)t2 ]) = = f(ax(t,) + (1 a)x(t2)) = f(aA + (l а)в).

Пусть f(x) выпуклая функция на X. Тогда для любых /,, /2, а є[0; 1] выполняется неравенство:

<p(atx + (1 a)t2) = f(aA + (l а)В) <

< of {A) + (1 a)f(B) = a<p(tx) + (l a)<p(t2).

Следовательно, <p(t) выпуклая функция на отрезке [0; 1]. Аналогично рассматриваются случаи, когда fix) строго выпуклая, вогнутая или строго вогнутая функция.

Достаточность. Пусть функция ((if) — f(A+tAB) является выпуклой для любых А, В є X, А * В. Тогда для всякого а е [0;1] имеем

f(aA + (1 а)В) = f(ax(0) + (l а)х()) = f(x[a • 0 + (l а) ■ 1J = = <р(аО + {-а))<аф) + (-а)<р{) = а/{А) + {]-а)/(в),

т.е.Дх) выпуклая функция на X. Случаи, когда <p(f) строго выпуклая, вогнутая или строго вогнутая функция, рассматриваются аналогично.

Теорема 3.13. Пусть X = R" -множество неотрицательных векторов; а,,...,а„ неотрицательные числа, сумма которых а < 1. Тогда функция f О) = х"1 xa...x°вогнута на X.

Доказательство. Пусть Р(р{,...,рп) єX и Q{qs,...,q,^) є X две различные точки. Положим V = PQ = (v,v„) = = р, ,...,q„ р„) и рассмотрим функцию у = <p(t) = /(*(/)), где x(t) = P + tV . Если хотя бы одна из линейных функций *i(0 = Р, + tv,(i'' = 1,•■-,") обращается тождественно в нуль (т.е. р, = v, =0), то и функция <p{t) также тождественно равна нулю. Далее считаем, что все x,(i) являются ненулевыми функциями.

Положим /, =-—, если у, * 0 (/ = 1,...,и). Тогда слева и справа от точки на числовой прямой функция х, (t) принимает значения разных знаков. Так как х(0) = Р > 0 и x(l) = Q>0, то ни одно из чисел /, не может быть внутренней точкой отрезка [0;1], т.е. t, г(0;1). Следовательно, все x,(t)>0 на интервале (0;1). Поэтому <p{t)-xt(t)aix2{t)a'...хп(і)а" >0 на интервале (0;1). Так как у = <р(1) > 0, то, используя логарифмическую производную, запишем у' в виде у' = у(пуУДифференцируя последнее равенство по /, получим

(пу) +[пу]

2

У" = У

I

(«I

Находим квадрат логарифмической производной:

t

і "і

м

■+...+ px + tV Pn+

Далее,

iP+tv? +"'+ (Л+/у)«2 J

a,v2

f, l" Г aivi a*v* 1 1 [Pl+tVt P„+tv„

Пусть a = a,+...+an = 1. Из неравенства Йенсена для выпуклой функции <p(s)-s2 (см. §2.18) получаем неравенство

[axsx+...+a„sn]2 <axs2+...+a„s2 или

[axsx+...+a„sn]2 -{axs2+...+a„sn]2 <0.

v

Положив в последнем неравенстве s, !— и умножив на у,

получим неравенство Р> + tVf

у([0пу)'?+[пу]")<0.

Поэтому у" < 0. Итак, мы доказали, что либо функция у = <p(t) тождественно равна нулю, либо <p"(t)<0 на интервале (0;1). В обоих случаях <p(t) вогнутая функция на отрезке [0;1]. По теореме 3.12 функция Дх) вогнута на выпуклом множестве

X = R"Если же а < 1, то функцию f(x) можно представить как сложную функцию f{x) = [g(x)a, где g(x) = xf1 ...х\%", А = fin-~^~> /3,+...+/?„= 1. Как было доказано, g(x) вогнута на Л". Кроме того, y/{t) = Ґвозрастающая вогнутая функция на промежутке [0;+»), поскольку i//'(t) = at"'1 >QH[//"(t) = a(a-)ta~2 <0 при / > 0.

По теореме 3.11 функция /О) = y/(g(x)) является вогнутой на X = R"+С помощью теоремы 3.12 доказывается вогнутость производственных функцийКобба-Дугласа. Например, функция V = К"*Ь3" является вогнутой, поскольку сумма степеней переменных равна 1 3

Теорема 3.14. Сумма любого числа выпуклых (вогнутых) на выпуклом множестве X с R" функций также является выпуклой (вогнутой) функцией на X. Если при этом хотя бы одна из суммируемых функций является строго выпуклой (строго вогнутой) на X, то и вся сумма будет строго выпуклой (строго вогнутой) на X.

Доказательство теоремы 3.14 по существу повторяет доказательство теоремы 2.19, поэтому мы его не приводим.

В заключение параграфа сформулируем и докажем достаточное условие строгой выпуклости для функции двух переменных.

Теорема 3.15. Пусть D-выпуклое открытое подмножество координатной плоскости Оху; Дд:) функция, имеющая в D непрерывные частные производные второго порядка. Положим

^y) = f^x,y)-f^x,y)-[f^x,y)f.

Тогда функция f(x,y) является строго выпуклой (строго вогнутой) на множестве D, если в каждой точке М є D выполняются следующие неравенства:

Д(М)>0;

/;чм)>оюл/)<0).

Доказательство. Рассмотрим две принадлежащие множеству D точки М(х0,у0) и N(x0 + p,y0+q). Всякая точка М, прямой MN имеет вид М, = (х0 + tp,y0 + tq). Пусть (p(t)f(M,) ограничение функции f(x,y) на прямуюMN. Имеем 9>'0) = f:(M,)p + f;(Ml}q и

<p"(t) = (М, )р2 + 2/; (М,) pq + f» (М, W ■

Положим А, =ШМ,), В, =/;ЧЛ/,)иС, =/£(М,). Тогда

<p"(t) = A;[[A2p2 +2A,B,pq + A,C,q2] = = A;'[(A,p + B,q)2 +(A,C, B2)q2].

Так как A,C, B2t = Д( M,) > 0, то <p"(t) имеет тот же знак, что и

А, = f"(M,). Поскольку в любой точке М є D выполняется неравенство 0 (соответственно, /^'(М()<0), то функция cp(t) строго выпукла (строго вогнута) на отрезке [0; 1 ]. По теореме 3.12 функция f(x,y) является строго выпуклой (строго

вогнутой) на множестве D.

Пример 3.26. Проверить строгую вьптуклость в R2 функции

2 = X2 + Ху + у2 + Sin*.

Решение. Имеем z'x =2х + у + cosjc, z'y = х + 2у. Далее, z'Z = 2 sin*, z; = 1, z" = 2, Д = z"azl -(2;)2 =3-2sinx.

В любой точке M є R2 выполняются неравенства: z'x'x =2-sinx>0 и Д = 3-2sinx>0. По теореме 3.15 функция z является строго выпуклой в R2.

§3.14. Стационарные точки выпуклых функций

Пусть Дат) (в координатной записи Ддгxj) функция п переменных, определенная в некоторой окрестности точки А е R". Напомним, что точка А называется стационарной точкой функции Дд-), если Дд) дифференцируема в А и grad f[A) = 0. Для функции Дд:), определенной на множестве X a R" , мы будем рассматривать стационарные точки двух видов:

А внутренняя точка X,

А граничная точка X.

В случае 2) считается, что область определения функции Дд:) содержит не только множество X, но и некоторую окрестность точки А.

Теорема 3.16. Пусть X <z R" выпуклое множество, fix) вогнутая (выпуклая) функция на X; А є X стационарная точка. Тогда fiA) наибольшее (наименьшее) значение функции fix) на X. Если при этом Дх) строго выпуклая (строго вогнутая) функция на X, то А единственная такая точка.

Доказательство. Пусть В еХ,В Ф А . Рассмотрим

функцию одной переменной <p{t) = f(A + t АВ). Используя формулу (3.20), находим ее производную в нуле

V'(0) = (ffadf(A),AB)t

Градиент grad f(A) = 0, поскольку А стационарная точка. Следовательно,

<р'(0) = (0,АВ) = 0,

т.е. 0 стационарная точка функции <p(t). Пусть функция /(х) вогнута наХ. Вследствие теоремы 3.12 функция <p(t) вогнута на отрезке [0;1]. Так как 0-ее стационарная точка, то, по теореме 2.24, <р(0) наибольшее значение функции <p(t)w& отрезке [0;1]. Следовательно,

f(A) = <p(0)>(l) = f(B),

т.е. /(А) наибольшее значение fix) на X. ЕслиДх) строго вогнута на X, то <p(t) строго вогнута на отрезке [0;1]. По теореме 2.25 получаем, что 0 единственная точка, в которой <p{t) принимает наибольшее значение на отрезке [0;1]. Поэтому р(0)>р(1)и f(A)> f(B). Таким образом, А единственная точка, в которойДх) принимает наибольшее значение на X. Случай выпуклой (строго выпуклой) функции Дх) рассматривается аналогично.

Пр им ер 3.27. Предположим, что некоторая монополия продает свою продукцию на двух независимых рынках. Пусть х, рх (соответственно у,ру) это количество и цена продукции, проданной на первом (втором) рынке; D(px), D(py) функции спроса; C(q) функция издержек. Найти точку (х*, у*), в которой значение функции прибыли

л(х,у) = рхх + руу С(х + у)

максимально, если

*P,)--{f)D(P,)--{ff,CM--S.

Решение. Из уравнений х = D(px), у = D(py)находим

рх = 160х-с-5,ру=320у-°

Следовательно, выручка

R{x,y) = Рхх + руу = 160л/х" + 320^.

С помощью теоремы 3.10 легко проверяется, что R(x,y) строго вогнутая, а -С(х + у) вогнутая функция в первой четверти координатной плоскости Оху. По теореме 3.14 их сумма я(х,у) будет строго вогнутой. Найдем стационарные точки л{х,у), решив систему уравнений:

80

7t'x=-^-2{x + y) = Q, 160

л;=-Г-2(х + у) = 0. ■4 у

Имеем -j= =—j= = 2(х + у). Откуда у = 4х, 40 = 5х . Следова-Vx jy

тельно,

х = 4, у 16, л-(4;16) = 1200.

По теореме 3.16 получаем, что 1200 максимальное значение прибыли, а точка (4; 16) единственная, в которой это значение достигается.