§ 4.3. интегрирование некоторых классов функций
§ 4.3. интегрирование некоторых классов функций
В предыдущих параграфах речь шла об общих приемах интегрирования. Далее мы рассмотрим интегрирование конкретных классов функций.
f4^U хах + f^ = il + 21nUJ-4| + C J х 4 J J x
(Для нахождения интеграла от второго слагаемого выполним замену переменной / = х2 4).
Таким образом, можно считать, что рациональная функция R(x) представлена в виде правильной дроби. В курсе алгебры доказывается
1. Интегрирование рациональных функций
Рассмотрим интеграл вида JR(x)dx, где R{x) это рациональная функция, т.е. функция, которую можно записать в виде отношения двух многочленов: Rx) = —г-г.
0х)
Теорема 4.5. Всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей вида
A A Mx + N Mx + N
х-а' (х-а)"'' хг+рХ + Я' (х*+рх + ду
где А, М, N, а, р, qдействительные числа.
С х +4
Пример 4.18. Найти —; dx.
J х -4х
Разложим знаменатель подынтегральной рациональной функции на множители: х3 4х = х(х2 4х) = х(х 2)(х + 2). Согласно теореме 4.5 правильная дробь должна разлагаться в сумму простейших дробей
х2+4 А В С Xі -4х~ х х-2 х + 2'
Найдем коэффициенты^, В, С. Воспользуемся для этого приемом, который называют методом неопределенных коэффициентов. А именно, приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители:
xі + 4 = А(х 2х + 2) + Вх(х + 2) + Сх(х 2).
Заметим, что у каждого слагаемого в правой части отсутствует в точности один сомножитель, так что при подстановке корней знаменателя все слагаемые правой части, кроме одного, обратятся в нуль:
jc = 0: 4 = Л(-2)-2,Л = -1; х = 2: 8 = 5-2-4, 5=1; х = -2: 8 = С(-2)(-4); С=1.
Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид:
х2+4 -1 1 1
—; = + + -,
х3-4х х х-2 х + 2
так что интеграл представляется в виде суммы интегралов, которые легко находятся
f * +* dx = [— + f-^r+ f-^r= -ln|x| + ln|x-2| + ln|x + 2| + C. J х -4х J x і x-2 J х + 2
t xі + 4x + 4
Пример 4.19. Найти —; 5-—dx.
Jx -2х +х
Разложим знаменатель на множители
хъ-2х2 + х = х(х2 -2х+і) = ф-і)2.
Согласно теореме 4.5 подынтегральная функция разложится на сумму простейших дробей:
х2 + 4х + 4 _ А В С х(х-1)2 ~ х + х~1 + (х-1)2'
Так же, как в примере 4.18, приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители
X2 + 4х + 4 = А(х if + Вх(х -1) + Сх.
Подставим по очереди корни знаменателя х = 0и х = 1 и найдем
х = 0: 4 = А, А = 4;
х = \: 1 + 4 + 4 = С, С = 9.
Для нахождения В корней не хватает! Однако, поскольку многочлены в левой и правой частях равенства равны тождественно, то у них равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты при х2, получим
1 = А + В,
откуда В = -3. Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид
х2+4х + 4 _ 4 -3 9 х(х-1)2 ~ х + х~1 + (х-1)2'
так что интеграл равен сумме интегралов
J х(х-1)2 J х Ь-1 J(x_i)2
= 41n|x|-31n|x-l|-^T + C
Рациональная дробь 1 правильная и ее разложение
x(xJ + l)J на простейшие дроби имеет вид
1 А Вх + С Рх + Е х(х* + 1у = х+ хг+1+(х>+іУ
Сравнивая числители дробей в обеих частях равенства, получим
1 = а{х2 + if + (Вх + С)л(х2 +1) + (Dx + Е)х.
В этом случае у нас имеется только один действительный корень х = 0, этого достаточно для нахождения только одного коэффициента А:
= А,А = .
Для нахождения остальных коэффициентов раскроем скобки в правой части равенства и запишем ее в виде многочлена четвертой степени:
= (А + В)хА +Схг+(2А + В + 0)х2+(С + Е)х + А.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получим систему уравнений для нахождения неопределенных коэфициентов
х4:А+В = 0; *3:С = 0; х2йА + В + Г> = 0;
х1:С + Е = 0; х°:А = .
Отсюда сразу находим Л = 1; £ = -1; С = 0; Z) = -1; £ = 0. Искомое разложение имеет вид
1 1 -х -х х(хг + ї)2 "* + *2+1 + (хг + 1)2'
Следовательно,
г dx rdx f xdx r xdx
Второй и третий интеграл справа находим одинаковой заменой / = х2+ ,dt = 2xdx, и окончательно получим
Jx(xJ + l)J 4 ' 2 "V > 2(хг + 1)
2. Интегрирование тригонометрических
функций
Универсальная тригонометрическая подстановка С помощью такой замены переменной интегралы вида |^(sinx, cosx)d!x,
где R некоторая рациональная функция, приводят к интегралу от рациональной функции, и, следовательно, к ним можно применить методы, рассмотренные в предыдущем пункте.
А именно, воспользуемся формулами, выражающими синус и косинус через тангенс половинного аргумента
2tg| 1-tg'f
sinx = —,cosx = —, -я<х<я.
l + tg2± 1-Htg2|
Если мы положим / = tg^-, то выражая х через /, получим
2dt
| і 2dt | |
х = 2arctg t, dx = j^jt-Поэтому
J*(sinx, cosx)ix = f*(j^7F' TTP")
Таким образом, задача свелась к интегрированию рациональной функции. Разумеется, после нахождения интеграла справа нужно
...xmATI V TP- ППТТҐШГИТЬ / = tE— .
вернуться к переменной х, т.е. положить t tg 2.
J8-4sinx + 7cosx Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
|"о = Г 1 2<* _ Г
8-4
J8-4sinx + 7cosx \_АЛ_^п-іг Т+7"= JT^eT+lI"
/-4-І
/-5;
1 + /2+?ї + /2
+ С= Inf
+ С.
ґ 2Л 1
/-4 + 1
/-3
= It—ті—=2--ь
J(/-4)i-J 2
-Я
Здесь мы воспользовались табличным интегралом XI. Под-ставляя / = tg-, окончательно получим
+c.
cosx
«1-3,
f
J8-4sinx + 7
Иногда, исходя из вида подынтегральной функции, проще воспользоваться другой заменой.
Пример 4.22. Найти fcos х&
J sin X
Выполним замену переменной / = sin х. Числитель подынтегрального выражения можно представить следующим образом
cos3 xdx = cos2 х ■ cosxdbc = (1 sin2 x)d(sinx) = (1 -11 )dt.
Поэтому имеем
Возвращаясь к переменной х, получим
Пример 4.23. Найти І—і ~. '—r~~r r Jsin x-4sinxcosx + 5cos x
Имеем
г dx Г dx
J sin2 x-4sinxcosx + 5cos2 x J cos2 x(tg2x-4tgx+5)
= Г dM Jtg2x-4tgx + 5'
Теперь ясно, что удобно выполнить замену переменной Г = tg X. Интеграл примет вид
J/2-4/ + 5 J(/-2)2 + l V '
Таким образом,
f— r-r-^ z—— = arctg(tg x 2) + C.
Jsin x-4sinxcosx+5cos x
3. Использование справочников и математических процессоров. Неберущиеся интегралы
Из предыдущего ясно, что нахождение неопределенных интегралов задача, существенно более сложная по сравнению с дифференцированием. Ее решение можно облегчить, применяя математические справочники и компьютерные программы, например, Mathcad. В эту программу встроен символьный процессор, который позволяет, в частности, находить производные и первообразные функций. Ниже приведены примеры нахождения первообразных с помощью этой программы. Здесь слева указаны данные функции, а справа их первообразные, найденные с помощью Mathcad:
1 + x
ft 1 ri| Г V5 1 + 3x1
arcs ml
(l + x)-Vl + x-xJ
 |
cos3 X , 1 ■7—dx = -T— sin X
-2
Задача нахождения первообразной элементарной функции это вторая знаменитая математическая проблема, которая оказалась неразрешимой принципиально (первой была задача решения алгебраических уравнений в радикалах). Оказалось, что очень многие элементарные функции не интегрируемы, т.е. первообразные таких функций не являются элементарными функциями. Таковы,
например, функции е~*2, —^—, и т.д. Однако, как мы увидим
ІПХ X
в следующей главе, такие первообразные существуют и играют значительную роль в математике и ее приложениях. Свойства этих функций хорошо изучены, существуют подробные таблицы их значений, можно рассмотреть их графики и т.п.
Если первообразная не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берется» в элементарных функциях.
§ 4.4. Определенный интеграл
1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
 |
Как найти площадь этой трапеции? Напомним, что при вычислении площади круга в школьном курсе математики поступают следующим образом. Рассматривают вписанные и описанные правильные многоугольники с увеличивающимся числом сторон и вычисляют их площадь, и затем принимают за площадь круга предел площадей этих многоугольников. По сути этот метод, используемый еще со времен Архимеда и известный как «метод исчерпывания», применим и в данной ситуации.
Разобьем отрезок [а, Ь] на мелкие части точками деления а = х0 < дс, < х. <... < х . < х = Ъ. Затем найдем на каждом отрезке разбиения [хк, х1+,/наименьшее значение функции у =J[x), обозначим его тк и построим прямоугольник с основанием [хк, xk+J и высотой тк. Его площадь
Sk =тк (хк* -хк)~тк • Д**
 |
Ясно, что S площадь криволинейной трапеции аАВЬ будет не меньше площади вписанной ступенчатой фигуры sT для любого разбиения Т:
sT < S.
Если на каждом отрезке разбиения Т выбрать наибольшее значение Мк функции у-J[x), то поступая аналогичным образом, получим ступенчатую фигуру, описанную вокруг криволинейной трапеции аАВЬ; площадь этой фигуры обозначим ST (рис. 4.3).
 | |||
 | |||
sT <S<ST.
Интуитивно ясно, что если разбиения Т сделать достаточно мелкими, то площади вписанной и описанной ступенчатой фигур будут мало различаться, поэтому естественно за площадь криволинейной трапеции S принять число, которое не меньше площади любой вписанной ступенчатой фигуры и не больше площади любой описанной ступенчатой фигуры. В рассматриваемом случае такое число должно быть единственным.
Понятно также, что искомая площадь S приближенно равна площади вписанной или описанной ступенчатой фигуры: S ~sT или S ~Sr причем точность равенства увеличивается с измельчением разбиения Т. На практике отрезок [а, Ь] разбивают на п равных частей, вместо обозначения sT используют sw соответственно, вместо ST Бя. Разность Sn sn определяет точность. Чем больше и, тем выше точность; проще всего число точек удваивать и проверять на каждом шагу: достигнута ли искомая точность. Точное равенство получится, если в приближенном равенстве перейти к пределу.
S = lim sn или S = lim S„
Пример 4.24. С точностью до 0,01 вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кубической параболой у = Xі, осью Ох и прямыми х = 0 и х = 1 (рис. 4.4).
| т.д. Т1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 0,063 | 0,141 | 0,191 | 0,22 | 0,235 | 0,242 | 0,246 | 0,248 | 0,249 | 0,25 | |
| s„ | 0,563 | 0,391 | 0,316 | 0,282 | 0,266 | 0,258 | 0,254 | 0,252 | 0,251 | 0,25 |
 |
Пример 4.25. Пусть зависимость объема продаж данного
товара от времени задана функцией q = —^т-(0 < / < 5) (рис. 4.5).
1 + Г
Тогда общий объем продаж Q равен площади заштрихованной фигуры, т.е. опять площади криволинейной трапеции, и мы можем применить тот же метод исчерпывания для приближенного нахождения Q.
2. Понятие определенного интеграла
Два примера, рассмотренные в предыдущем пункте, показывают, что решение таких и многих аналогичных им задач приводит к построению нижних и верхних сумм, соответственно sT и ST, для подходящего разбиения Т данного отрезка, и нахождению числа, разделяющего множества {sT} и {ST}. Рассмотрим данную задачу в общем виде.
Итак, пусть на отрезке [а, Ь] дана ограниченная функция У =/(х)Рассмотрим разбиение Г отрезка [а, Ь] точками деления
а = х0 < х, < х2 <...< лгя_і < хп = Ь,
на каждом отрезке разбиения [хк,хк+]] найдем нижнюю и верхнюю грани значений функции у = f(x), соответственно, тк и Мк,
и составим две суммы: нижнюю сумму Дарбу sT = ^mk ■ Ахк
п-1
и верхнюю сумму Дарбу ST = • Ахк. На рис. 4.2, 4.3 этим
суммам соответствуют площади вписанной и описанной ступенчатых фигур.
Эти суммы обладают следующими свойствами:
1 °. Для любого разбиения Г выполняется неравенство sT < ST, т.е. для данного разбиения нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы.
Это следует из того, что для любого к справедливо неравенство т.<Мк.
2°. Если разбиение Т2 получается из разбиения Г, добавлением нескольких новых точек, то sT] < sTl и ST{ > ST2, т.е при измельчении разбиения нижние суммы Дарбу могут только увеличиваться, а верхние суммы только уменьшаться.
Иде, доказаны™ -"SmES^^S?"^
и фигуры сСДхж.
3°. Для любых разбиений Т{ и Т2 выполняется неравенство
или любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы.
Для доказательства составим разбиение отрезка 7", которое включает все точки деления как разбиения 7",, так и Тг Тогда по свойству 2° имеем sTl <sT, по свойству l°sT < ST и применяя еще раз свойство 2°, получим Sr й STi. Таким образом, имеем
что завершает доказательство.
Из свойства 3° следует, что множество нижних сумм Дарбу X находится на числовой оси левее множества верхних сумм Дарбу К, поэтому существует хотя бы одно число /, разделяющее множествами У, т.е. для любого разбиения Г отрезка [а, Ь] выполняется двойное неравенство
sT = £m4 • Дх, <, 1 < • Дх, = ST.
k=Q *=0
Определение. Функция у = f(x), ограниченная на отрезке [а, Ь], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [а, Ь]. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом функции у = f(x) по отрезку [а, Ъ] и обозначают следующим образом
ь
I = f(x)dx.
а
Знак определенного интеграла читается «интегралом от а до Ь», числа а и Ъ называют нижним и верхним пределами интегрирования. Обозначения были введены немецким ученым Г. Лейбницем, который вместе с И. Ньютоном был создателем дифференциального и интегрального исчислений. Лейбниц ввел знак интеграла Г в виде вытянутой буквы S, которая обозначает знак суммирования. Самым замечательным результатом интегрального исчисления является формула Ньютона-Лейбница, которая
устанавливает связь между определенным интегралом J/(x) dx и
неопределенным интегралом J/(*) dx, что делает оправданным употребление знака интеграла в обоих случаях.
Мы определили |/(*) dx интеграл для случая, когда а < Ь.
а
Ь а
Если а > Ь, положим J f(x) dx = Jf{x) dx, что можно считать
а Ь
естественным, поскольку при изменении направления каждая разность hxk = xk+l xk меняет знак. Тогда поменяют знак и суммы
jf(x)dx.
Дарбу и, следовательно, разделяющее их число, т.е. интеграл
ь
а
Так как при а Ъ все Ахк обращаются в нуль, то положим
а
//(*)<& = 0.
а
Из рассуждений п. 1° следует
Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл дает площадь криволинейной трапеции,
ограниченной вертикальными прямымих = а,х = Ъ при а <Ь, осью Ох и графиком неотрицательной и непрерывной функции у = /(*).
Об экономических приложениях определенного интеграла мы поговорим позже, однако некоторый типичный случай мы уже рассмотрели в примере 4.25.
Приведем теперь пример, показывающий, что существуют не-интегрируемые ограниченные функции. В качестве такой функции рассмотрим функцию Дирихле у = Щх), которая определена на отрезке [0,1] следующим образом
{
0, если х иррационально; 1, если л: рационально.
Каково бы ни было разбиение Т, в любом отрезке разбиения Iхк >хк+\] обязательно содержатся как рациональные, так и иррациональные точки, поэтому для любого отрезкаАхк:тк =0
и Мк =1. Тогда все нижние суммы Дарбу ' = 0,поскольи-1
ку все тк 0, и все верхние суммы Дарбу ^ Мк ■ Ахк = 1, так
как^М* ДхА =J]lAxt =1 длина отрезка [0, 1]. Таким
образом, множество нижних сумм состоит из одного числа X = {0} и множество верхних сумм состоит из одного числа У = {1}, так что любое число из отрезка [0, 1] разделяет множества X и Y. Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке [0,1].
Сформулируем критерий интегрируемости ограниченной функции.
Теорема (критерий интегрируемости). Для того чтобы функция у = f(x), определенная и ограниченная на отрезке[а,Ь], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0существовало разбиение Т такое, что ST-sT<£.
Доказательство. Достаточность очевидна: положим є„=~-, л = 1,2,..., получим систему стягивающихся отрезков
Ur; S2. ], которая сходится к единственной точке /, которая и будет единственным разделяющим числом.
Пусть, наоборот, известно, что разделяющее число единственно. Тогда для любого є > 0 в интервал (/є/2; I+el 2) длины є попадут точки как из {sT}, так и из {ST}. Поэтому найдутся разбиения Г, и Т2 такие, что
STi -sri <є.
Возьмем в качестве Г разбиение, которое включает точки из Г,
и из Т2. Тогда по свойству 2 сумм Дарбу имеем ST < ST и sT > sTi.
Отсюда ST-sT< є, что завершает доказательство теоремы. Поскольку
п-1 п-1 п-1
*=0 *=0 *=0
условие ST-sT< є можно записать следующим образом:
^(Мк-тк)Ахк<£. (4.3)
Разность Мк тк будем обозначать а>к и называть колебанием функции на отрезке [хк,]. Неравенство (4.3) можно переписать следующим образом:
я-і
*£сокАхк<є. (4.4)
3. Интегрируемость непрерывной функции
В предыдущем пункте мы ввели понятие интегрируемой функции и установили критерий интегрируемости. Теперь покажем, что всякая функция, непрерывная на отрезке [а,Ь], интегрируема на этом отрезке, т.е. что существует определенный интеграл
)f(x)dx.
а
Теорема 4.6. Функция, непрерывная на отрезке[а,Ь], интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Возьмем произвольное є > 0. По свойству равномерной непрерывности (см. приложение 3 главы 1) найдется такое разбиение Т отрезка [а,Ь, что для всех отрезков разбиения будет выполняться неравенство шк < -—-. Тогда
я-1 я-1
Согласно неравенству (4.4) это и означает интегрируемость функции на отрезке [а,Ь].
4. Аддитивность определенного интеграла
Теорема 4.7. Пусть функция у -fix) интегрируема на отрезках[а,с] и[Ь,с], а<с<Ь. Тогда она интегрируема на от-резке[а,Ь], и выполняется равенство
b с b
J/(x) dx = {/(*) dx + f{x) dx. (4.5)
а а с
Доказательство. Возьмем произвольное є > 0. По условию, функция у fix) интегрируема на отрезке [а,с]. В силу критерия интегрируемости существует разбиение Г, отрезка [а,с]
такое, что ST> -sT) <—. Аналогично для отрезка [с,Ь] найдется
разбиение Т2 такое, что STj -sTi <—. Разбиение Г, и Т2 в совокупности образуют разбиение Г отрезка [а, Ь], причем
ST-sT=(STi +ST^-(sri +sn) = (STi -sn) +
Таким образом, для разбиения Т отрезка [а, Ь] выполнено условие критерия интегрируемости, а это и означает, что функция f(x) интегрируема на этом отрезке.
с Ь
Из неравенств sT) < jf(x)dx < ST{ и sTi < jf(x)dx < ST2
следует, что " c
с b
sr = sn + sT2 < f(x)flx + f(x)ix < ST2 + ST2 = ST.
с b
Поэтому число Jf{x) dx + jf(x) dx разделяет множество нижних
а с
и верхних сумм Дарбу для разбиений отрезка [а,Ь], включающих точку с. Из свойств 2 сумм Дарбу следует, что тем более оно разделяет множество нижних и верхних сумм Дарбу для всех разбиений отрезка [а,Ь]. Поскольку такое число единственно, то оно ь
равно jf(x)dx, что завершает проверку равенства (4.5) и дока-зательство теоремы.
так что и в этом случае выполняется равенство (4.5). Аналогично рассматривается и случай, когда с < а.
Равенство (4.5) имеет наглядный геометрический смысл, оно выражает свойство аддитивности площади плоской фигуры. Так площадь S криволинейной трапеции аАВЪ на рис. 4.7 равна сумме площадей 5, трапеции аАСс и S2 трапеции сСВЬ.
с Ь Ь
Но5, = J/(*)&, S2 = J/M"** и5= чт0 еще Раз
ас о
подтверждает равенство (4.5).
5. Теорема о среднем для определенного
интеграла
Теорема 4.8. Пусть дана функция у =/(х), непрерывная на отрезке[а,Ь]. Тогда на этом отрезке найдется точка с, такая, что выполняется равенство
ь
f(x)dx = f(c-a). (4.6)
 |
/А*)*)f(x)dx+ )f(x)dx = ]f{x)dXt
Число f(c) = J/(x) dx называют средним значением фуна
кции f(x) на отрезке [а,Ь].
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, ft], то она интегрируема на этом отрезке. Пусть т и М, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [а, Ь]. Выражение т(Ь а) и М{Ь а) являются нижней и верхней суммой Дарбу для разбиения, состоящего только из одного отрезка, а именно, из самого отрезка [а,*]. Поскольь
ку J f(x) dx разделяет эти суммы, то выполняется двойное нераа
венство
ь
т{Ь~а)<.f(x)dx £ М(Ъа).
Поделив все части неравенства на Ь а > 0, получим
ь
а
Ь
Число — ^f(x)dx находится между наименьшим и наибольа
шим значениями непрерьшной функции. По теореме о промежуточном значении (см. свойство 2 § 1.10) это значение достигается в некоторой точке с на отрезке [а,Ь
-^)f(x)dx = f(c),
а
откуда получим равенство (4.6), что требовалось доказать.
 |
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы