§ 4.5. формула ньютона — лейбница

§ 4.5. формула ньютона — лейбница: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.

§ 4.5. формула ньютона — лейбница

До сих пор мы еще не знаем ответа на важный вопрос: для каких функций существует первообразная. Частичный ответ на этот вопрос будет дан ниже, в п. 1 данного параграфа. Затем мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между определенным интегралом и первообразной.

1. Интеграл с переменным верхним пределом

Если функция^ =/(х) интегрируема на отрезке [а,Ь],то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, и, следовательно, для

х

любого х е[а,Ь] существует интеграл jf(x)dx. Чтобы не смешиа

вать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования,

х

будем записывать его в виде

а

Определение. Для функции у = f(x интегрируемой

на отрезке[а,Ь], интеграл вида

где х <=[а,Ь], называется интегралом с переменным верхним пределом. х

Для каждого х е[а,Ь] рассмотрим функциюФ(д:) = f{t)dt.

а

Оказывается, эта функция является первообразной для у =/(х), что мы и докажем в следующей теореме.

Теорема 4.9. Если функция у = f(x) непрерывна на отX

резке [а,Ь],то функция Ф(*) = дифференцируема в

а

любой внутренней точке этого отрезка, причем Ф'(лг) = f{x).

Иными словами, интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для непрерывной подынтегральной функции.

Доказательство. Будем искать производную функX

ции Ф(х)= пользуясь непосредственным определением

а

производной, а именно

Ф^)=ИтФ(л: + Ах>-Ф(').

V ' Дх-»0

Для х e(a,b) выберем Дх столь малым, чтобы точка х + Дх лех+Дс

жала внутри отрезка [а,Ь]; тогда Ф(х + Дх) = jf(t)dt. Имеем

а

Ф(х + Дх)-ф(х) = j/(t)dt)f(t)dt =

а а

х+Дх х х х+Дх

= J/(/)*-J/(/)A= f{t)dt.

К последнему интегралу применим теорему о среднем предыдущего параграфа:

х+Ді

Ф(х + Дх)-Ф(х) = jf(t)dt = /(c)Ax,

X

где промежуточная точка с находится между х их + Дх, поэтому

=А4

Ф(х + Ах)-Ф(х) _ /(с)Дх

Дх Ах

Так как функция Дх) непрерывна ис-»х приДх->0, то Um /(с) = /(х). Поэтому

Дх-»0 Дх Дх-»0

что и требовалось доказать.

Из этой теоремы вытекает, что функция fix), непрерывная на отрезке [а,Ь], имеет на этом отрезке первообразную, а именно функцию

«(*)=]/(')*•

а

Поэтому доказанная теорема называется теоремой о существовании первообразной для непрерывной функции.

250 2. Формула Ньютона Лейбница

Теорема 4.10. Пусть функция у = fix) непрерывна на отрезке[а,Ь] и Fix) первообразная для fix). Тогда

ь

" jf(t)dx = F(b)-F(a). (4.7)

а

Доказ а телъство . Поскольку функция /(х) непрерывна на отрезке [а,Ь], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке, а именно функцию Ф(х) из предыдущего пункта. Сначала проверим справедливость формулы (4.7)

для этой первообразной. Действительно, Ф(х) = jf(t)dt, подстава

Ь

ляя х = Ь, получим Ф(й) = f(t)dt, а подставляя х = а, получим

а

а

Ф(а) = |/(г)Л = 0. Поэтому

а

Ь

|/(г)Л = Ф(б)-Ф(а).

а

Если Fix) другая первообразная для функции fix), то выполняется равенство

Р(х) = Ф(х) + С.

Имеем

*

F(b) F(a) = (ф(Ь) + С) (Ф(а) + С) = Ф(б) -Ф(а) = f{x)dx,

а

что завершает доказательство формулы (4.7).

Разность Fib) F(o) часто записывают в виде ^(*) а» и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид

|/(х)Л = ^=Ф(б)-Ф(4 (4.8)

а

Отметим еще раз, что мы доказали формулу (4.8) для случая, когда j{x) непрерывная на [а, 6] функция. В действительности же эта формула справедлива для любой функции/х), имеющей первообразную функцию F(x).

Формулу (4.8), доказанную в теореме 4.10, обычно называют основной формулой интегрального исчисления. Она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.

Отметим еще два варианта формул (4.7), (4.8).

ь

(4.10)

JF'(x)dx = F(b)-F(a), (4.9)

и

jdF(x)dx = F(b)-F(a).

Теперь нам не составит труда найти определенный интеграл из примера 4.24 предыдущего параграфа. Одной из первообраз1 4

J 4

ных функции у = х3 будет функция F(x) —, поэтому по формуле Ньютона-Лейбница получим

1 1

= --0 = 0,25. 0 4

3. Свойства определенного интеграла

Из формулы Ньютона-Лейбница легко получаются остальные свойства определенного интеграла. При формулировке этих свойств предполагается, что функции непрерывны на рассматриваемых промежутках.

1. Интеграл от суммы двух функций/,(х) и/г(х) по отрезку [а,Ь] равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку:

Доказательство. Из свойств неопределенного интеграла следует, что если Fx(x) первообразная для функции /L(*), а F2(x) первообразная для функции /2(х), то первообразной для суммы функций/,(х) + /2(х) будет служить сумма первообразных Ft(x) + F2(x). Следовательно,

/(/> м+/>м)Ащ-№+fh=

а

= F](b)-F1{a) + F2(b)-F2(a)=)f](x)dx/jf2(x)ax.

а а

Аналогично доказывается следующее свойство.

2. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:

ь ь

jV(x)d!x = k |/(x)dx, к постоянная.

а а

С помощью этих двух свойств легко найти определенный интеграл от многочлена.

2

Пример 4.26. Вычислить j(6x2 4х + 5^ах.

Имеем

2 2 2 2

|(бх2 4х + S^dx = fa2dx + J4xdx + J5dx =

2 2 v'f

-і -і -і -і

-4Ц

+ 5^,= і

2 2 2 З I2 21

= 6^x2dx-4^xdx + 5^dx =

-і -і -і

= 2(23 (-1)3) 2(22 (I)2) + 5(2 (1)) = 27.

3. Интеграл от неотрицательной функции на отрезке [а, Ь] -неотрицательное число, т.е., если fix) > 0 на [а, Ь], то

ь

j/(x)dx>0. (4.11)

а

Действительно, еслиДх) > 0 на [а, Ь], то любая нижняя сумма Дарбу будет неотрицательной, тем более и значение интеграла.

Неравенство (4.11) имеет очевидный геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции, есть неотрицательное число.

Интегрирование неравенств. Если на отрезке [а, Ь] выполняется неравенство fix) < g(x), то такое же неравенство выполняется и для интегралов:

ь ь

f(x)dx< jg(x)dx. (4.12)

а а

Действительно, если fix) < g(x), то g(x) fix) > 0, тогда

Ь Ь

согласно свойству 3 имеем J(g(x)f(x))dx > 0, т.е Jg(x)dxЬ а а

J/(x)<fr> 0, откуда следует искомое неравенство.

Геометрический смысл данного утверждения предоставляется выяснить читателю.

Оценка определенного интеграла. Пусть т наименьшее, а Мнаибольшее значения непрерывной функцииу = /(х) на отрезке [а, Ь]. Тогда выполняется двойное неравенство

ь

т(Ь-а)< jf(x)dx < М(Ь-а). (4.13)

а

Действительно, левая и правая части неравенства (4.13) это, соответственно, нижняя и верхняя суммы Дарбу для разбиения, состоящего из единственного отрезка [а, Ь]. Поскольку интеграл -это число, разбивающее любые нижние и верхние суммы, то неравенство (4.13) становится очевидным.

4 dx

Пр им ер 4.27. Оценить определенный интеграл [—.

1 2 *

Функция у = — убывает на промежутке [2,4], поэтому М= 0,5,

X

т = 0,25. Используя неравенства (4.13), получим

0,5 = 0,25(4-2) < J— < 0,5 (4 2) = 1.

Взяв полусумму крайних значений, получим значение 0,75, тогда как точное значение интеграла, найденное по теореме Ньютона-Лейбница, равно

1п2«0,69.

4. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Для определенного интеграла формула интегрирования по частям принимает следующий вид:

(4.14)

judv = uv|* Jvrfu.

а а

Действительно, по формуле (4.10) имеем

ь ь ь

mv(* = jd(uv) = jvdu + judv.

Перенося первое слагаемое налево с противоположным знаком, получим искомую формулу (4.14).

и = In X, dx

= lnx ■

xdx =

dv = Xі dx

<** f 2j xi

du = —,v = x dx = —x J 3

J 3 x

Пр им ер 4.28. Вычислить Jx2lnxdx.

Jx2ln

і і

3 9 9 9 9

Как и в случае неопределенного интеграла, успех в применении формулы (4.14) зависит от правильного выбора множителей и и dv.

5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 4.11. Пусть функция у = j{x) непрерывна на отрезке [а, Ь], а функциях-^) определена на отрезке[а,р] и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем (р(а) = а, <р(Р) = Ь ир[а,/3] = [а,Ь]. Тогда

ь Р

f(x) = JApitWOdt. (4 15)

а а

Доказательство. Пусть F(x) первообразная для функции/(х), тогда F'(x) =f{x) и F(<p(t)y = F\<p{t)) <p'(t) = f (<P(0) ■ <P'(t)Заметим, что из условий теоремы следует, что

44

последняя функция интегрируема на отрезке [а, р]. Применяя формулу (4.9), получим Р ь /(<p(t)y(t)dt = F(<p(p)) F(<p(aj) = F(b) F(a) = f(x)dx,

a a

что завершает доказательство теоремы.

2

Пример 4.29. Вычислить JV4-x2dx.

Применим тригонометрическую замену переменной х 2sin /, О < / < у. Легко проверить, что все условия теоремы 4.11 выполнены, так что можно применить формулу (4.15). Преобразуем подынтегральное выражение:

V4 х2 = у/4 4sm21 = 2cos/, dx = Icostdt.

2 "A "A

Получим jV4 x1 dx = J2 cost ■ 2 costdt = 2 J(l + cos2t)dt =

Если воспользоваться геометрической интерпретацией определенного интеграла, то этот результат легко получить устно (рис. 4.9).

9f 4xdx

Пример 4.30. Вычислить -т= .

І V х 1

Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной x = t2,dx = 2tdt, 2 < t < 3. При этом все условия теоремы 4.11 выполнены, так что получим:

) #= р-** = 2 = 2 V /+1+-LV =

—+ / + ІПІ/-1І

I 2 11

JVT-i J t-i j i-i j t-i)

:(9 + 6+21n2)-(4 + 4 + 21nl) = 7 + 2ln2.

Отметим некоторое «преимущество» в применении формулы замены переменной по сравнению со случаем неопределенного интеграла, а именно: не надо возвращаться к первоначальной переменной.

о

„■ sin 2/ = 2 / +

2 256

= 2— n. 2

Математика в экономике Часть 2

Математика в экономике Часть 2

Обсуждение Математика в экономике Часть 2

Комментарии, рецензии и отзывы

§ 4.5. формула ньютона — лейбница: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.