§ 4.5. формула ньютона — лейбница
§ 4.5. формула ньютона — лейбница
До сих пор мы еще не знаем ответа на важный вопрос: для каких функций существует первообразная. Частичный ответ на этот вопрос будет дан ниже, в п. 1 данного параграфа. Затем мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между определенным интегралом и первообразной.
1. Интеграл с переменным верхним пределом
Если функция^ =/(х) интегрируема на отрезке [а,Ь],то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, и, следовательно, для
х
любого х е[а,Ь] существует интеграл jf(x)dx. Чтобы не смешиа
вать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования,
х
будем записывать его в виде
а
Определение. Для функции у = f(x интегрируемой
на отрезке[а,Ь], интеграл вида
где х <=[а,Ь], называется интегралом с переменным верхним пределом. х
Для каждого х е[а,Ь] рассмотрим функциюФ(д:) = f{t)dt.
а
Оказывается, эта функция является первообразной для у =/(х), что мы и докажем в следующей теореме.
Теорема 4.9. Если функция у = f(x) непрерывна на отX
резке [а,Ь],то функция Ф(*) = дифференцируема в
а
любой внутренней точке этого отрезка, причем Ф'(лг) = f{x).
Иными словами, интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для непрерывной подынтегральной функции.
Доказательство. Будем искать производную функX
ции Ф(х)= пользуясь непосредственным определением
а
производной, а именно
Ф^)=ИтФ(л: + Ах>-Ф(').
V ' Дх-»0
Для х e(a,b) выберем Дх столь малым, чтобы точка х + Дх лех+Дс
жала внутри отрезка [а,Ь]; тогда Ф(х + Дх) = jf(t)dt. Имеем
а
Ф(х + Дх)-ф(х) = j/(t)dt)f(t)dt =
а а
х+Дх х х х+Дх
= J/(/)*-J/(/)A= f{t)dt.
К последнему интегралу применим теорему о среднем предыдущего параграфа:
х+Ді
Ф(х + Дх)-Ф(х) = jf(t)dt = /(c)Ax,
X
где промежуточная точка с находится между х их + Дх, поэтому
=А4
Ф(х + Ах)-Ф(х) _ /(с)Дх
Дх Ах
Так как функция Дх) непрерывна ис-»х приДх->0, то Um /(с) = /(х). Поэтому
Дх-»0 Дх Дх-»0
что и требовалось доказать.
Из этой теоремы вытекает, что функция fix), непрерывная на отрезке [а,Ь], имеет на этом отрезке первообразную, а именно функцию
«(*)=]/(')*•
а
Поэтому доказанная теорема называется теоремой о существовании первообразной для непрерывной функции.
250 2. Формула Ньютона Лейбница
Теорема 4.10. Пусть функция у = fix) непрерывна на отрезке[а,Ь] и Fix) первообразная для fix). Тогда
ь
" jf(t)dx = F(b)-F(a). (4.7)
а
Доказ а телъство . Поскольку функция /(х) непрерывна на отрезке [а,Ь], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке, а именно функцию Ф(х) из предыдущего пункта. Сначала проверим справедливость формулы (4.7)
для этой первообразной. Действительно, Ф(х) = jf(t)dt, подстава
Ь
ляя х = Ь, получим Ф(й) = f(t)dt, а подставляя х = а, получим
а
а
Ф(а) = |/(г)Л = 0. Поэтому
а
Ь
|/(г)Л = Ф(б)-Ф(а).
а
Если Fix) другая первообразная для функции fix), то выполняется равенство
Р(х) = Ф(х) + С.
Имеем
*
F(b) F(a) = (ф(Ь) + С) (Ф(а) + С) = Ф(б) -Ф(а) = f{x)dx,
а
что завершает доказательство формулы (4.7).
Разность Fib) F(o) часто записывают в виде ^(*) а» и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид
|/(х)Л = ^=Ф(б)-Ф(4 (4.8)
а
Отметим еще раз, что мы доказали формулу (4.8) для случая, когда j{x) непрерывная на [а, 6] функция. В действительности же эта формула справедлива для любой функции/х), имеющей первообразную функцию F(x).
Формулу (4.8), доказанную в теореме 4.10, обычно называют основной формулой интегрального исчисления. Она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.
Отметим еще два варианта формул (4.7), (4.8).
ь
(4.10)
JF'(x)dx = F(b)-F(a), (4.9)
и
jdF(x)dx = F(b)-F(a).
Теперь нам не составит труда найти определенный интеграл из примера 4.24 предыдущего параграфа. Одной из первообраз1 4
J 4
ных функции у = х3 будет функция F(x) —, поэтому по формуле Ньютона-Лейбница получим
1 1
= --0 = 0,25. 0 4
3. Свойства определенного интеграла
Из формулы Ньютона-Лейбница легко получаются остальные свойства определенного интеграла. При формулировке этих свойств предполагается, что функции непрерывны на рассматриваемых промежутках.
1. Интеграл от суммы двух функций/,(х) и/г(х) по отрезку [а,Ь] равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку:
Доказательство. Из свойств неопределенного интеграла следует, что если Fx(x) первообразная для функции /L(*), а F2(x) первообразная для функции /2(х), то первообразной для суммы функций/,(х) + /2(х) будет служить сумма первообразных Ft(x) + F2(x). Следовательно,
/(/> м+/>м)Ащ-№+fh=
а
= F](b)-F1{a) + F2(b)-F2(a)=)f](x)dx/jf2(x)ax.
а а
Аналогично доказывается следующее свойство.
2. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:
ь ь
jV(x)d!x = k |/(x)dx, к постоянная.
а а
С помощью этих двух свойств легко найти определенный интеграл от многочлена.
2
Пример 4.26. Вычислить j(6x2 4х + 5^ах.
-і
Имеем
2 2 2 2
|(бх2 4х + S^dx = fa2dx + J4xdx + J5dx =
2 2 v'f
-і -і -і -і
-4Ц
+ 5^,= і
2 2 2 З I2 21
= 6^x2dx-4^xdx + 5^dx =
-і -і -і
= 2(23 (-1)3) 2(22 (I)2) + 5(2 (1)) = 27.
3. Интеграл от неотрицательной функции на отрезке [а, Ь] -неотрицательное число, т.е., если fix) > 0 на [а, Ь], то
ь
j/(x)dx>0. (4.11)
а
Действительно, еслиДх) > 0 на [а, Ь], то любая нижняя сумма Дарбу будет неотрицательной, тем более и значение интеграла.
Неравенство (4.11) имеет очевидный геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции, есть неотрицательное число.
Интегрирование неравенств. Если на отрезке [а, Ь] выполняется неравенство fix) < g(x), то такое же неравенство выполняется и для интегралов:
ь ь
f(x)dx< jg(x)dx. (4.12)
а а
Действительно, если fix) < g(x), то g(x) fix) > 0, тогда
Ь Ь
согласно свойству 3 имеем J(g(x)f(x))dx > 0, т.е Jg(x)dxЬ а а
J/(x)<fr> 0, откуда следует искомое неравенство.
Геометрический смысл данного утверждения предоставляется выяснить читателю.
Оценка определенного интеграла. Пусть т наименьшее, а Мнаибольшее значения непрерывной функцииу = /(х) на отрезке [а, Ь]. Тогда выполняется двойное неравенство
ь
т(Ь-а)< jf(x)dx < М(Ь-а). (4.13)
а
Действительно, левая и правая части неравенства (4.13) это, соответственно, нижняя и верхняя суммы Дарбу для разбиения, состоящего из единственного отрезка [а, Ь]. Поскольку интеграл -это число, разбивающее любые нижние и верхние суммы, то неравенство (4.13) становится очевидным.
4 dx
Пр им ер 4.27. Оценить определенный интеграл [—.
1 2 *
Функция у = — убывает на промежутке [2,4], поэтому М= 0,5,
X
т = 0,25. Используя неравенства (4.13), получим
0,5 = 0,25(4-2) < J— < 0,5 (4 2) = 1.
Взяв полусумму крайних значений, получим значение 0,75, тогда как точное значение интеграла, найденное по теореме Ньютона-Лейбница, равно
1п2«0,69.
4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Для определенного интеграла формула интегрирования по частям принимает следующий вид:
(4.14)
judv = uv|* Jvrfu.
а а
Действительно, по формуле (4.10) имеем
ь ь ь
mv(* = jd(uv) = jvdu + judv.
Перенося первое слагаемое налево с противоположным знаком, получим искомую формулу (4.14).
и = In X, dx
= lnx ■
xdx =
dv = Xі dx
<** f 2j xi
du = —,v = x dx = —x J 3
J 3 x
Пр им ер 4.28. Вычислить Jx2lnxdx.
Jx2ln
і і
3 9 9 9 9
Как и в случае неопределенного интеграла, успех в применении формулы (4.14) зависит от правильного выбора множителей и и dv.
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 4.11. Пусть функция у = j{x) непрерывна на отрезке [а, Ь], а функциях-^) определена на отрезке[а,р] и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем (р(а) = а, <р(Р) = Ь ир[а,/3] = [а,Ь]. Тогда
ь Р
f(x) = JApitWOdt. (4 15)
а а
Доказательство. Пусть F(x) первообразная для функции/(х), тогда F'(x) =f{x) и F(<p(t)y = F\<p{t)) <p'(t) = f (<P(0) ■ <P'(t)Заметим, что из условий теоремы следует, что
44
последняя функция интегрируема на отрезке [а, р]. Применяя формулу (4.9), получим Р ь /(<p(t)y(t)dt = F(<p(p)) F(<p(aj) = F(b) F(a) = f(x)dx,
a a
что завершает доказательство теоремы.
2
Пример 4.29. Вычислить JV4-x2dx.
Применим тригонометрическую замену переменной х 2sin /, О < / < у. Легко проверить, что все условия теоремы 4.11 выполнены, так что можно применить формулу (4.15). Преобразуем подынтегральное выражение:
V4 х2 = у/4 4sm21 = 2cos/, dx = Icostdt.
2 "A "A
Получим jV4 x1 dx = J2 cost ■ 2 costdt = 2 J(l + cos2t)dt =
9f 4xdx
Пример 4.30. Вычислить -т= .
І V х 1
Чтобы избавиться от иррациональности, выполним замену переменной x = t2,dx = 2tdt, 2 < t < 3. При этом все условия теоремы 4.11 выполнены, так что получим:
) #= р-** = 2 = 2 V /+1+-LV =
—+ / + ІПІ/-1І
I 2 11
JVT-i J t-i j i-i j t-i)
:(9 + 6+21n2)-(4 + 4 + 21nl) = 7 + 2ln2.
Отметим некоторое «преимущество» в применении формулы замены переменной по сравнению со случаем неопределенного интеграла, а именно: не надо возвращаться к первоначальной переменной.
о
„■ sin 2/ = 2 / +
2 256
= 2— n. 2
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы