§ 5.5. разложение функций в степенные ряды

§ 5.5. разложение функций в степенные ряды

1. Ряд Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию fix) разлагать в степенной ряд. Для этого надо ответить на два вопроса:

может ли эта функция на данном отрезке быть представлена в виде суммы некоторого степенного ряда?

если да, то как найти этот ряд?

В этом пункте мы дадим ответ на второй из поставленных вопросов; ответ на первый вопрос будет дан в следующем пункте.

Предположим, что данная функция fix) на некотором отрезке [-г, г] может быть разложена в степенной ряд

fix) = a0+axx + a2x2+a3xi+.... (5.48)

Найдем коэффициенты а0, а., а2, ау ... этого ряда.

Из предыдущего параграфа мы знаем, что степенной ряд (5.48) можно дифференцировать почленно любое число раз. Поэтому для любого х из интервала (-г, г) имеем

Дх) = ах + 2а^ + За3х1+ 4а4х3 +..., Я» =2-1а2+3-2а3х + 4-За4х2+... , f"[x) =3-2-1а3 + 4-3-2а4х+... ,

и т.д. Итак,

/(л,(х) = п(п-)...Ъ-2Ла+...

(в разложении /<л,(х) указан только свободный член). Полагая в этих равенствах, а также в разложении (5.48) х = 0, получаем АО) = а0, ДО) = ах, f'