§ 5.6. степенные ряды с произвольным центром

§ 5.6. степенные ряды с произвольным центром

1. Интервал сходимости

Выполнив в степенном ряде замену переменной х на х х0, получаем степенные ряды с центром в х0. В общем случае они имеют вид:

а0+а,(х-х0) + а2(х-х0)2 + ... +а„(х -х0)" + ... . (5.61)

До этого мы систематически рассматривали случай, когда х0= 0. Общий случай ничем существенным не отличается от частного случая, все сводится к переносу начала в точку х = хЧтобы это увидеть, выполним замену переменной Х=х -х0. После такой замены ряд (5.61) принимает вид

а0+а{Х + a3Xl+ ... + аяХп + (5.62)

т.е. превращается в степенной ряд с центром х0= 0. Из предыдущего изложения следует, что ряд (5.62) имеет интервал сходимости (-R, R), т.е. сходится при Х < R и расходится при Х > R. Для ряда (5.61) это означает, что он сходится при х xQ < R и расходится при |дг jcJ > R. Следовательно, интервал сходимости ряда (5.61) есть (x0-R, х0+ R) (рис. 5.2).

в • О >

Xq — r дсо xq + r

Рис. 5.2

Все свойства степенных рядов, которыми обладает ряд (5.62), переносятся на ряд (5.61) в интервале (х0R, х0+ R). К ним относятся возможность почленного дифференцирования и интегрирования ряда (5.61).

2. Ряд Тейлора

Аналогично задаче о разложении функции в ряд по степеням х ставится и задача о разложении по степеням х xQ.

Определение. Пусть функция fix) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Степенной ряд

ft v ГЫ, ч /"Ы, ^2 /(л)(*о)/ Y

называется рядом Тейлора с центром х0 для функции fix).

Справедливо следующее утверждение, обобщающее теорему 5.16 § 5.5.

Теорема 5.18. Если функция разлагается в некоторой окрестности точки х0 в ряд по степеням х-х^ то он является ее рядом Тейлора с центром х0.

Доказательство. Положим X— х -х0и F(X) fix). Если функция fix) в окрестности точки х0 разлагается в ряд (5.61), то функция F(X) в окрестности нуля разлагается в ряд (5.62). Тогда согласно теореме 5.16 § 5.5, последний ряд должен быть рядом Маклорена для F(X), т.е. имеет место разложение

1! 2! и!

Возвращаясь к переменной х, получим

/(,) = /Ы + ^(х-х0) + ^1(х-х0)2+... л!

что и требовалось доказать.