§ 5.7. приложения степенных рядов к приближенным вычислениям

§ 5.7. приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.

§ 5.7. приложения степенных рядов к приближенным вычислениям

1. Вычисление значений показательной

функции

Для показательной функции справедливо разложение в ряд

х2 xі х"

ех = 1 + х + + +...+ +...(-оо<х<оо) (5.63)

2! 3! я!

При больших по модулю значениях* ряд (5.63) малопригоден для вычислений. В этих случаях обычно поступают так: представляют х в виде суммы

х = Е(х) + q,

где Е(х) целая часть числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) и q дробная его часть, 0 < q < 1. Тогда

Первый множитель находят с помощью умножения. Второй множитель вычисляют с помощью разложения (5.63). При 0<,х <1 этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда R (х) оценивается следующим образом: "

хя+|

ОйЯя(х)<±— пп

Пример 5.21. Найти -Л с точностью до 10-5. Пользуемся формулой

где и01, ик =—1~, (* = 1, 2,..., п). Слагаемые подсчитываем с

+*п{{ (5.б4)

ц*-1 2к

двумя запасными десятичными знаками. Последовательно имеем

«0=1, и5 =-^ = 0,0002604,

«і = "Т" = 0,50000000, и6 = = 0,0000217,

*• 12

"2 =J = 0,1250000, и7=^ = 0Д)00016,

"3 = "б"= °'0208333- ^7 = 1,6487212.

и4 = = 0,0026042,

О

Округляя сумму до пяти десятичных знаков после запятой, получим

77= 1,64872.

2. Вычисление значений логарифмической

функции

Непосредственное применение разложения логарифмической функции в степенной ряд

1п(1 + х) = х-^+ ^—^-+...+(-1)"^!!.+... . (5.65)

2 3 4 я+1 v '

затруднительно из-за ограничения —К дг <1 и медленной сходимости. Поэтому заменим х на -х и получим

X2 x3 ХА хл+1

1п(1-х) = -х-± — -—

2 3 4 я+1

In = 2

1-х

Вычитая из первого равенства второе, находим

х3 х5

х + — + —+...

3 5

где |*| < 1.

Формула (5.66) очень удобна для вычисления логарифмов по двум причинам: 1) аргумент логарифмической функции для указанных значений х принимает произвольные положительные значения; 2) ряд (5.66) сходится довольно быстро. Оценим остаток ряда (5.66). Так как отношение последующего члена ряда к предыдущему равно

х2л+1 х2"-1 2и-1 2

-X

2п + 2п- 2п +

и потому меньше Xі, то остаток меньше, чем сумма геометриx2n+1

ческой прогрессии с первым членом 2 и знаменателем х2.

2я +1

Таким образом, выполняется неравенство

(5.67)

2х2л+1

(2л + 1)(1-х2)'

Пример 5.22. Найти In 5 с точностью до 10~*.

Чтобы ускорить сходимость ряда (5.66), представим число 5 в

виде произведения 5 = е ■ -, тогда in 5 = In е + In = 1 + In -. Полагая

е ее

1+х 5 5-е

= -, находим х = « 0,29562514 (здесь предполагается, что

1-х е 5+е

число е мы можем вычислять с требуемой точностью, как в п. 1). Из оценки (5.67) следует, что остаток приблизительно равен первому отброшенному члену. Будем вести все вычисления с двумя запасными знаками

и = 2х = 0,59125029, и4 = 2— = 0,00005638,

Xі х9

и2 = 2у = 0,01722395, щ = 2— = 0,00000383,

щ = 2 — = 0,00090316, и6 = 2 — = 0,00000027.

Требуемая точность достигнута. Складывая члены ряда, получим

In 5= 1,609438.

3. Вычисление значений синуса и косинуса

Для вычислений значений функций sin х и cos х используем разложения в ряд

Xі Xі х2"*1 sinX = X--^ + —-■-+(-1)"^—J-+-(-оо<Х<ао), (5.68)

х2 х4 х2п

cosx = l + ...+(-1)" +... (-оо<х<оо). (5 691

2! 4! (2л)! 1 '

Ряды (5.68) и (5.69) при больших х сходятся медленно. Однако, учитывая периодичность функций sin х и cos х и формулы приведения тригонометрических функций, достаточно уметь вычислять

sin х и cos х для промежутка 0 < х < —. Так как в этом промежутке ряды (5.68) и (5.69) являются знакочередующимися с убывающими по модулю членами, то остаток ряда в обоих случаях не превышает модуля первого отброшенного члена.

Пример 5.23. Вычислить sin-j с точностью до 10~*.

Значение аргумента с двумя запасными знаками: х = 0,785398. Применяя (5.68), получим

и, = х = 0,785398, «2 = = -0,080746,

х2и 2

"з = ТТ = °.°02490, и4 = -5-ї» = -0,000037.

4-5 4 6-7

Требуемая точность достигнута, поэтому

sm—= 0,7071. 4

Разумеется, можно было этот результат получить, используя

. я S значение sin—.равное —.

4 2

4. Приближенное нахождение интегралов

Пример 5.24. Вычислить интеграл

і

/= y^dx,

о

разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и используя семь членов этого разложения. Оценить погрешность. Имеем

1 г4 г6 X2"

Этот ряд сходится при любом х; проинтегрировав почленно первые семь членов, получим

Х 3 + 5-2! 7 3! + 9 4! 11-5! + 13 6!у

= 1_I+±-i-+J L+_L (5.70)

3 10 42 216 1320 9360 v J

Оценим остаток ряда:

|Л71< — = —— < 1,5 10"5. 1 71 15-7! 75600

Учитывая это, вычислим сумму (5.70) с пятью знаками после запятой (с одним запасным знаком). Окончательно получим

і

/= je^dx = 0,7468.

о

Пример 5.25. Вычислить интеграл

Jl_ v

Ql-x5

Математика в экономике Часть 2

Математика в экономике Часть 2

Обсуждение Математика в экономике Часть 2

Комментарии, рецензии и отзывы

§ 5.7. приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.