§ 5.7. приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
§ 5.7. приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
1. Вычисление значений показательной
функции
Для показательной функции справедливо разложение в ряд
х2 xі х"
ех = 1 + х + + +...+ +...(-оо<х<оо) (5.63)
2! 3! я!
При больших по модулю значениях* ряд (5.63) малопригоден для вычислений. В этих случаях обычно поступают так: представляют х в виде суммы
х = Е(х) + q,
где Е(х) целая часть числа х (наибольшее целое число, не превосходящее х) и q дробная его часть, 0 < q < 1. Тогда
Первый множитель находят с помощью умножения. Второй множитель вычисляют с помощью разложения (5.63). При 0<,х <1 этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда R (х) оценивается следующим образом: "
хя+|
ОйЯя(х)<±— пп
Пример 5.21. Найти -Л с точностью до 10-5. Пользуемся формулой
где и01, ик =—1~, (* = 1, 2,..., п). Слагаемые подсчитываем с
+*п{{ (5.б4)
ц*-1 2к
двумя запасными десятичными знаками. Последовательно имеем
«0=1, и5 =-^ = 0,0002604,
«і = "Т" = 0,50000000, и6 = = 0,0000217,
*• 12
"2 =J = 0,1250000, и7=^ = 0Д)00016,
"3 = "б"= °'0208333- ^7 = 1,6487212.
и4 = = 0,0026042,
О
Округляя сумму до пяти десятичных знаков после запятой, получим
77= 1,64872.
2. Вычисление значений логарифмической
функции
Непосредственное применение разложения логарифмической функции в степенной ряд
1п(1 + х) = х-^+ ^—^-+...+(-1)"^!!.+... . (5.65)
2 3 4 я+1 v '
затруднительно из-за ограничения —К дг <1 и медленной сходимости. Поэтому заменим х на -х и получим
X2 x3 ХА хл+1
1п(1-х) = -х-± — -—
2 3 4 я+1
In = 2
1-х
Вычитая из первого равенства второе, находим
х3 х5
х + — + —+...
3 5
где |*| < 1.
Формула (5.66) очень удобна для вычисления логарифмов по двум причинам: 1) аргумент логарифмической функции для указанных значений х принимает произвольные положительные значения; 2) ряд (5.66) сходится довольно быстро. Оценим остаток ряда (5.66). Так как отношение последующего члена ряда к предыдущему равно
х2л+1 х2"-1 2и-1 2
-X
2п + 2п- 2п +
и потому меньше Xі, то остаток меньше, чем сумма геометриx2n+1
ческой прогрессии с первым членом 2 и знаменателем х2.
2я +1
Таким образом, выполняется неравенство
(5.67)
2х2л+1
(2л + 1)(1-х2)'
Пример 5.22. Найти In 5 с точностью до 10~*.
Чтобы ускорить сходимость ряда (5.66), представим число 5 в
виде произведения 5 = е ■ -, тогда in 5 = In е + In = 1 + In -. Полагая
е ее
1+х 5 5-е
= -, находим х = « 0,29562514 (здесь предполагается, что
1-х е 5+е
число е мы можем вычислять с требуемой точностью, как в п. 1). Из оценки (5.67) следует, что остаток приблизительно равен первому отброшенному члену. Будем вести все вычисления с двумя запасными знаками
и = 2х = 0,59125029, и4 = 2— = 0,00005638,
Xі х9
и2 = 2у = 0,01722395, щ = 2— = 0,00000383,
щ = 2 — = 0,00090316, и6 = 2 — = 0,00000027.
Требуемая точность достигнута. Складывая члены ряда, получим
In 5= 1,609438.
3. Вычисление значений синуса и косинуса
Для вычислений значений функций sin х и cos х используем разложения в ряд
Xі Xі х2"*1 sinX = X--^ + —-■-+(-1)"^—J-+-(-оо<Х<ао), (5.68)
х2 х4 х2п
cosx = l + ...+(-1)" +... (-оо<х<оо). (5 691
2! 4! (2л)! 1 '
Ряды (5.68) и (5.69) при больших х сходятся медленно. Однако, учитывая периодичность функций sin х и cos х и формулы приведения тригонометрических функций, достаточно уметь вычислять
sin х и cos х для промежутка 0 < х < —. Так как в этом промежутке ряды (5.68) и (5.69) являются знакочередующимися с убывающими по модулю членами, то остаток ряда в обоих случаях не превышает модуля первого отброшенного члена.
Пример 5.23. Вычислить sin-j с точностью до 10~*.
Значение аргумента с двумя запасными знаками: х = 0,785398. Применяя (5.68), получим
и, = х = 0,785398, «2 = = -0,080746,
х2и 2
"з = ТТ = °.°02490, и4 = -5-ї» = -0,000037.
4-5 4 6-7
Требуемая точность достигнута, поэтому
sm—= 0,7071. 4
Разумеется, можно было этот результат получить, используя
. я S значение sin—.равное —.
4 2
4. Приближенное нахождение интегралов
Пример 5.24. Вычислить интеграл
і
/= y^dx,
о
разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и используя семь членов этого разложения. Оценить погрешность. Имеем
1 г4 г6 X2"
Этот ряд сходится при любом х; проинтегрировав почленно первые семь членов, получим
Х 3 + 5-2! 7 3! + 9 4! 11-5! + 13 6!у
= 1_I+±-i-+J L+_L (5.70)
3 10 42 216 1320 9360 v J
Оценим остаток ряда:
|Л71< — = —— < 1,5 10"5. 1 71 15-7! 75600
Учитывая это, вычислим сумму (5.70) с пятью знаками после запятой (с одним запасным знаком). Окончательно получим
і
/= je^dx = 0,7468.
о
Пример 5.25. Вычислить интеграл
Jl_ v
Ql-x5
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы