§ 5.8. ряды из матриц
§ 5.8. ряды из матриц
Рассмотрим М(к, I) множество матриц размера к х / с действительными элементами.
с точностью до 10-4.
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд
' :1 + *5+х10+*15 + ....
1-х5
Областью сходимости этого ряда является интервал (-1, 1). Отрезок интегрирования входит в этот интервал, следовательно, данный ряд можно почленно интегрировать.
Интегрируя по отрезку [0, 0,5], получим 1°. Последовательности из матриц
Пусть для каждого натурального п дана матрица Ап є М(к, /). Последовательность Av А2, .-,А„, ■■■ или {Ап}, п є N, называют последовательностью матриц.
Ясно, что всякая последовательность матриц из М(к, I) порождает к ■ I обычных числовых последовательностей, которые получаются выписыванием элементов матриц Ап с фиксированными индексами / и j.
( х6 хи х16 ^
х + + + +...
V 6 11 16 J
Уі і і
=— + г + гг + ГГ+о 2 6-2б Н-211 16-216
Пример 5.26. Рассмотрим последовательность 2x2 матриц
Так как уже третий член меньше, чем 10^, то попробуем взять в качестве приближенного значения интеграла сумму первых двух членов.
Оценим остаток R2:
R2 =—^-77 + — 11-2" 16-216
Для этого заменим первые множители, стоящие в знаменателях, на число 11. Тогда получим сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии
25
Таким образом, сумма первых двух членов дает значение интеграла с требуемой точностью. Окончательно получим
0,5
f г = + —^ = 0,5026.
Jl-x5 2 6-26
В заключение заметим, что разложение функций в степенные ряды используется также при решении дифференциальных уравнений, о чем речь пойдет в следующей главе.
, / = 1, 2,у = 1, 2.
(и)"
В развернутом виде имеем:
2
1
А„ ,А2 =
2
1_ J_
V2 4>
' '.2
2,
Л / j Л
4
,...,[ —| в первой строке и втором столбце,
так что получим четыре числовые последовательности: 1, 1,1, ...в первой строке и первом столбце,
2Чгі ' 2
2~' ''"'(г") '"'80 ВТ0Р0И стРоке и первом столбце,
-i, ,—,\^ >■•• во второй строке и во втором столбце.
722-|-19-г
Определение. Матрица А = (<зу) называется пределом последовательности матриц {AJ, п є N, если для каждой пары і и j выполняются равенства
а,. = lima*;', i = l,..., k,j = ,..., I.
Иными словами, сходимость должна быть поэлементной.
Пример 5.27. Найти предел последовательности матриц {А }, п є N, из предыдущего примера 5.26.
( 0
Очевидно, шпЛ = Л, где А =
"-»« Ко о)
2°. Ряды из матриц. Определения и примеры
Определение. Рядом из матриц {Ап є М(к, /)}, и є N, называется выражение вида
Ах+А2+...+Ая+... (5.71)
Ряд из матриц это непосредственное обобщение понятия числового ряда. Определение его сходимости копирует определение сходимости числового ряда (5.1). А именно, обозначим через
I, =Л„ £, =АХ + А2, (5.72)
частичные суммы ряда (5.71).
и-ая частичная сумма £п это по сути просто набор из к ■ I частичных сумм обычных числовых рядов, которые получаются на фиксированном месте соответствующих матриц с индексами і и у, і = 1,..., к, j = 1,..., /.
Определение. Ряд (5 Л ) сходится, если последовательность {Ln} его частичных сумм сходится.
В случае сходимости ряда (5.71) обозначим предел частичных сумм через Е. Тогда имеем
L = limE„. (5-73)
Определение. Для сходящегося ряда матрица Е называется суммой ряда (5.71).
В этом случае сумму ряда записывают в виде символического
оо
равенства £ = у'ап .
П =
1_ 2
1_
w4
Пример 5.28. Найти сумму ряда из матриц
Ах + А2+...+ А„+..., где А„ =
Ясно, что в качестве частичной суммы 1п мы получим матрицу, элементами которой будут частичные суммы геометрических прогрессий со знаменателями, меньшими единицы. Поэтому данный ряд сходится и его суммой будет
(5.74)
Более интересные примеры возникают, если мы по аналогии с геометрической прогрессией рассмотрим ряд, составленный из степеней квадратной матрицы А размера к:
Е + А +А2+ ... +А" +
Такие ряды рассматривались в первой части данного учебника при изучении балансовых моделей, где предполагалось, что А > 0. Оказывается, что сходимость такого ряда эквивалентна продуктивности матрицы Леонтьева А. Чтобы дать исчерпывающий ответ на вопрос о сходимости ряда (5.74), нам предстоит рассмотреть степенные матричные ряды.
3°. Степенные матричные ряды
Определение. Пусть дана квадратная матрица А размера к и степенной ряд aQ+ ахх+а2х2+...+апхп+... Степенным матричным рядом называется ряд, полученный заменой в степенном ряде переменной х на А:
оэ
а0 + ахА + а2А2 +...+апА" +...= ^апЛ" ■ (5.75)
Оказывается, что определение сходимости степенного матричного ряда (5.75) полностью сводится к вопросу о сходимости обычного степенного ряда. Напомним, что число Л называется собственным значением матрицы А, если найдется ненулевой собственный вектор х, для которого выполняется равенство
Ах = Л х.
Вместе с матричным степенным рядом (5.75) рассмотрим степенной ряд
ОЭ
aQ+a^ + a2A2+...+anr+..=Yja„A"(5.76)
Теорема 5.19. Матричный степенной ряд (5.75) сходится тогда и только тогда, когда сходится степенной ряд (5.76) для каждого собственного значения Л матрицы А.
Доказательство. Пусть матричный ряд (5.75) сходится и Л собственное значение матрицы А с собственным вектором
х. Обозначим В = ^апА" . Рассмотрим вектор Вх. Поскольку для
л=0
любого натурального п выполняется равенство А"х = Л "х, то справедливо равенство
Вх = ^а„Лпх. (5.77)
Отсюда следует сходимость ряда (5.76).
При доказательстве достаточности ограничимся случаем, когда собственные векторы матрицы А образуют базис пространства Rk. Заметим, что для проверки сходимости ряда (5.75) достаточно проверить, что для любого вектора х пространства Rk сходится ряд из векторов
а^+аЛх+а^х +...+аА"х+... . (5.78)
Если х собственный вектор матрицы А, то ряд (5.78) сходится по условию. В общем случае вектор х представляется в виде линейной комбинации собственных векторов. Поэтому ряд (5.78) также представляется в виде линейной комбинации рядов такого же типа для собственных векторов, каждый из которых сходится. Следовательно, сходится и ряд (5.78), что заканчивает доказательство теоремы.
Следствие 1. Матрица Леонтьева А продуктивна тогда и только тогда, когда число Фробениуса матрицы А меньше единицы
Доказательство. Мы воспользуемся критерием продуктивности из главы 3 первой части данного учебника. А именно, неотрицательная матрица Л продуктивна тогда и только тогда, когда сходится матричный ряд (5.74):
Е + А + А2+...+ А"+... .
Согласно теореме 5.19 ряд (5.74) сходится, если для любого собственного значения Л матрицы А сходится числовой ряд
1 + Л+ Л2+...+ Л"+... ,
т.е. когда Л \<. Поскольку матрица А неотрицательна, то по теореме Перрона-Фробениуса максимальное по модулю собственное значение ЛА матрицы А действительно и неотрицательно. Поэтому условие сходимости матричного ряда (5.74) эквивалентно условию ЛА<, что и требовалось доказать.
Следствие 2 Для любой квадратной матрицы А сходится
ряд
еА =Е + А +—+...+—+... . (5.79) 2! п
Согласно теореме 5.19 достаточно проверить, что для любого собственного значения Л сходится ряд для обычной показательной функции
к , , Л2 Л" 2! л!
а это хорошо известно.
Разложение в ряд (5.79) используется при решении систем линейных дифференциальных уравнений.
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы