§ 6.2. дифференциальные уравнения первого порядка

§ 6.2. дифференциальные уравнения первого порядка

1. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть

F(x,y,y') = 0.

Если это уравнение можно разрешить относительно У, т.е. записать в виде

У=А*,у), (6-5)

то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения (6.5). Возьмем некоторую точку (х0, у0) из области определения D функции fix, у). Пусть у = ср (х) интегральная кривая, проходящая через эту точку (т.е. yQ = ср (х)). Из уравнения (6.5) вытекает, что

= (*0> у0У

Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х0, у0) равен (при х = х0) числу fix0, у0).

Построим теперь для каждой точки (х0, у0) из области определения D прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный fix0, у0). В этом случае принято говорить, что эта прямая определяет направление в точке (jc0, yQ), а на множестве D задано поле направлений. Таким образом, с геометрической точки зрения решить уравнение (6.5) означает найти кривую, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Пример 6.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

У-у-.

х

Правая часть уравнения определена на множестве D, состоящем из точек (х, у), где х 0. Следовательно, поле направлений для данного уравнения можно построить на всей плоскости, кроме оси Оу. В каждой точке (х, у) угловой коэффициент у' касательной совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через данную точку и начало координат. Вдоль этих прямых угловой коэффициент постоянен, т.е. ^ = С = const. Отсюда следует,

х

1 / f / / / ' / / / / / / г s.

/ / ? / / S s s,

If// / S s / .

! / / S S / S~ ^.

} / S s ss.-^*

/ / У s^s-^--^/ s s-^^ -~—

что интегральными кривыми этого уравнения являются прямые у = Сх, где С произвольная константа. На рис. 6.1 изображено поле направлений данного уравнения.

WNWWU

■ч.\\\

чЛ х, ч, Ч Ч V

I

ч.

4N4. ч. Ч,

чч ч., N, Ч. Ч Ч

Ч«

1* >

-3—^-2——

's s /

^ s / / ^ ^' ^ / / f / /

^' ^ ^ / S s / / /

s s s / / / / / s/ S S / / Г 1 7 / s s / / / ? 1 I

S / S / / / 1 1 I

\чч-—-. N \ччч ч, ч. ч^ч.ч,Ч N -ч. 4.4^ Ч Ч ч ч, ч'

Ї

г

Рис. 6.1

Заметим также, что интегральные кривые этого уравнения удовлетворяют (при у * 0) условию

У'х _ . У

говорящему о том, что эти кривые и только они имеют эластичность, равную 1.

2. Как мы уже отмечали выше, дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы из этого множества выделить какое-то конкретное решение, необходимо указать дополнительное условие; чаще всего такое условие задается в виде начального условия

Уіх0)=у0. (6.6)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения (6.5), удовлетворяющих начальному условию (6.6), называется задачей Коши.

Ч, Ч,

.—--^-^.--w ч,

Как правило, задача Коши имеет единственное решение. Однако возможны случаи, когда задача имеет бесконечно много решений либо вообще не имеет решений. Условия, при которых решение задачи Коши существует и единственно, формулируются в следующей теореме Коши.

Теорема 6.1 (о существовании и единственности решения задачи Коши). Если в некоторой окрестности точки (лг0, у0) функция fix,y) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f ', то существует такая окрестность точки (х0, у0), в которой задача Коши (6.5), (6.6) имеет решение, притом единственное.

Эту теорему мы примем без доказательства, так как оно выходит за рамки данного курса.

На основании теоремы Коши мы можем теперь уточнить понятия общего и частного решений.

Определение 6.3. Если задача Коши (6.5), (6.6) имеет единственное решение, то это решение называется частным решением уравнения (6.5).

Множество всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения.

Отметим, что в некоторых случаях процесс решения дифференциального уравнения приводит не к явному выражению у = ф(дс, С) для общего решения, а к некоторому соотношению вида

Ф(х, у,С) = 0, (6.7)

определяющему решение у как неявную функцию. Это соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Из соотношения (6.7) при помощи выбора константы С может быть получено уравнение любой интегральной кривой, т.е. может быть получено в неявном виде любое частное решение.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называют интегрированием этого уравнения; обычно под этим понимают нахождение общего решения или общего интеграла.

3. Выше нами была сформулирована теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения y'=fix, у). Условием, гарантирующим как существование решения, так и его единственность, является дифференцируемость функции fix, у). В отдельных точках это условие может нарушаться: через такие точки может не проходить ни одной интегральной кривой или проходить несколько интегральных кривых.

Точки, через которые не проходит ни одна интегральная кривая или проходит более одной интегральной кривой, называются особыми точками данного дифференциального уравнения.

Может случиться,что некоторая интегральная кривая уравнения состоит из одних особых точек. Такая кривая называется особым решением уравнения.

Например, для уравнения

У = 3^/7

функция fix, у) = Зу273 определена и непрерывна на всей плоско-сти Оху. Ее частная производная f = _ существует и непрерывна во всех точках, где у *■ О, т.е. во всех точках, не принадлежащих оси Ох. Таким образом, через любую точку, не лежащую на оси Ох, проходит единственная интегральная кривая уравнения. Чтобы выяснить, как обстоит в этом смысле дело с точками

dx

оси Ох, проинтегрируем данное уравнение. Имеем = dx , откуда следует ут + С = х или у = (х С)3.

Итак, общее решение представляет собой семейство кубических парабол. Однако имеется еще одно решение у(х) = 0. Следовательно, через любую точку (С, 0) оси Ох проходят, по крайней мере, две интегральные кривые: ось Ох и парабола^ = (хCf. Это показывает, что точки оси х являются особыми точками уравнения у' = Зу[у* , а функция у(х) = 0 особым решением.

Нетрудно установить, что через любую точку вида (С, 0) проходит в действительности бесчисленное множество интегральных кривых. Любую из них можно составить из трех кусков: «нижней» половины параболы^ -{хС,)3, где С, число, меньшее или равное С, отрезка С,С2 оси одг, где С2 > С,, и «верхней» половины параболы у = (х С2)3 (рис. 6.2).

Запишем уравнение (6.8) в форме

^ = p(x)g(y). ах

Для отыскания решения этого уравнения необходимо, как говорят, разделить в нем переменные, т.е. переписать уравнение следующим образом:

dy =p(x)dx, (6.9)

g(y)

Из этого примера можно понять, почему в формулировке теоремы Копій мы были вынуждены говорить о существовании и единственности решения лишь в некоторой окрестности начальной точки (jc0, у0), а не во всей области определения функции fix, у). В самом деле, пусть точка (х0,у0) не является особой для уравнения

у' 3\[у* , т.е. у * 0. Если взять столь малую окрестность D точки (х0,у0), чтобы она не пересекала ось Ох, то внутри такой окрестности через точку (х0,у0) будет проходить единственная кубическая парабола вида у = (хС)3. Однако, если взять достаточно большую окрестность (например, всю плоскость Оху), то окажется, что внутри такой окрестности через точку (х,,^) проходит бесчисленное множество интегральных кривых. Любую из них можно составить указанным выше способом из трех кусков, один из которых проходит через точку (х0,у0) (рис. 6.3).