§1.7. бесконечно малые и бесконечно большие функции

§1.7. бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция fix) называется бесконечно малой при х -» х0, если lim f(x) = 0, и бесконечно большой при

х-*ха

х -> х0,если

lim /(х) = ±оо.

х-*х0

Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 1.2. Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х -> х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х -» х0).

Дня доказательства следует воспользоваться общими правилами нахождения пределов (§1.4, п.2°, правила 1 и 2).

Теорема 1.3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть снова бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть fix) бесконечно малая при х -> х0: lim f(x) = 0,ag(x)ограниченная функция:

Х-¥Х0

< v4(const) при любом х. Запишем

о<|/(*).ф)<л|/(4

Первый и третий члены неравенства (т.е. О и Л|/(х)|) имеют при х -> х0 предел 0. По известному положению о пределе функции второй член, т.е. |/(х) • g(x)|, также имеет предел 0. Отсюда очевидным образом следует Hm /(x)g(x) = 0 •

х-+х0

/(*)

Особое значение имеет вопрос о поведении частного двух бесконечно малых (при х -> х0) функций. В общем случае о пределе такого частного ничего определенного сказать нельзя. Вот несколько примеров:

2 XSin —

lim— = 0, lim — = ±оо, lim — не существует.

*->0 X х->0х *-+о х

Заметим, что исследование отношения двух бесконечно малых функций представляет чрезвычайную важность для всех приложений математического анализа, поскольку на рассмотрении предела такого отношения основывается важнейшее понятие математического анализа понятие производной функции.

Между понятиями бесконечно малой и бесконечно большой функций существует очевидная связь: еслиДх) бесконечно большая (при* -» х0), то —бесконечно малая (при х -» х0). /(*)

При сравнении бесконечно малых функций часто используют термин «бесконечно малая более высокого порядка».

Определение. Пусть fix) и g(x) две бесконечно малые функции прих -> х0. Мы говорим, что fix) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем g(x), если

lim/W = 0.

*-о g(X)

Например, при х -> 0 функция х2 есть бесконечно малая более высокого порядка, чем х.