§1.8. непрерывность функции

§1.8. непрерывность функции

Понятие непрерывности, как и понятие предела, одно из центральных в математическом анализе.

1*. Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х^ называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке х0 существует и равен значению в этой точке:

(1-И)

lim/(x) = /(x0).

x-»0

Геометрический смысл (1.11) следующий: при стремлении X к х0 ордината графика функции приближается к числу /ух0 ), т.е. график в точке х0 «не рвется» (рис. 1.10):

Итак, функция/(*) непрерывна в точке х& если приращение функции стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Укажем еще одно истолкование непрерывности. Равенство (1.11) можно записать в виде

Учитывая определение предела функции, можно дать и более развернутое определение непрерывности функции в точке: fix) непрерывна в точке х0, если для любой последовательности х,,х2,..., сходящейся к х0, соответствующая последовательность/^,),/^),... сходится к числу f(x0).

Приведем еще одно определение непрерывности, перефразировав по существу данное выше определение. Пусть х любая точка из окрестности точки х0. Разность/т/х0), как известно, называется приращением функции. Обычно пишут х х0 = Дх,/(х)f(x0)= Ау. Таким образом,

&y = f(xo+Ax)-f(xa)>

т.е. Ау является некоторой функцией от Ах. Тогда определение непрерывности f(x) в точке х0 можно записать в виде условия

limAy = 0. (1.12)

Дх->0 v '

Действительно, равенство (1.12) означает, что lim f(x0 + Ах) lim f(x0) = 0 или lim /(х0 + Ах) = lim f(x0),

Ax->0 V ' Дх-»0 V U/ Дх-»0 V ' Дх-»0

что лишь способом записи отличается от (1.11). 32 lim f(x) = f{ lim х),

*->*0 vx-frXo У

т.е. функция/(х) непрерьшна, если можно менять местами символы /и lim (операцию нахождения функции и операцию предельного перехода).

Пусть функция /(х) задана на отрезке [а, А]. Можно ли говорить о непрерывности/(*) в точке а (или в точке by! С точки зрения данного выше определения непрерывности, конечно, нельзя, так как функция не определена слева от а. Поэтому введем понятие односторонней непрерывности.

Определение. Функция f(x), определенная на отрезке [а>£], называется непрерывной в точке а справа, если

Аналогично определяется непрерывность /(*) в точке b слева:

Например, функция

f(x = i+i прих>0 Jy> -1прих<0

в точке х0 = 0 непрерьшна справа, так как lim /(х) = lim 1 = 1;

х-»0+0

однако та же функция в точке 0 не является непрерывной слева, так как lim fix) = lim(-l) = -1, в то время как /(О) = +1.

x-+0-q v '

2*. Арифметические операции над непрерывными функциями

зДля решения вопроса о непрерывности тех или иных конкретных функций полезно знать те операции над функциями, которые сохраняют непрерывность, т.е. операции, будучи примененные к

33

непрерывным функциям, дают снова непрерывные функции. К числу таких операций относятся прежде всего арифметические.

Теорема 1.4. Если функцииf(x) иg(x) непрерывны в точке х0, то каждая из функций

/W+g(4/W-«(4/W^),^y (1.13)

(последняя при g(xo)*0) также непрерывна в точке х0.

/(*)

Докажем, например, непрерывность —j-fв точке х0 (при условии g(x0) * 0). Мы имеем Ях)

g(x) lim g(x) g(x0)'

лг->л:0

что и требовалось получить. Аналогично доказывается непрерывность остальных функций из ряда (1.13).

Доказанная теорема позволяет установить непрерывность значительного класса функций. Мы исходим из того, что каждая из функций

f(x) = c(const ),f(x) = х

непрерывна в любой точке. Применяя теорему 1.4, получим тогда, что любая функция вида

Р(х) = а0 + а^х + а2х2+...+апх"

(т.е. любой многочлен от х) непрерывна в любой точке х0, а лю-Р(х)

бая функция вида —, где Р(х) и Q(x) два многочлена, непре-рывна в любой точке х0, где Цх) * 0. Например, функция

хг-2

Xі +4х-5

непрерывна в любой точке х0, за исключением х0 = 1 и х0 = -5 (корни знаменателя).

Другие виды операций, сохраняющих непрерывность, будут указаны в § 1.11.

3°. Постоянство знака непрерывной функции

Пусть fx) непрерывна в точкех0 я/(х0)>0. Покажем, что тогда существует такая окрестность точки х0, во всех точках которой f(x)>0

Будем рассуждать от противного. Допустим, что в любой окрестности точки х0 имеются точки, где /< 0 .Очевидно, что в этом случае можно найти последовательность х{, х2, сходящуюся к х0, причем/(дг() < 0 для всех і. Но в таком случае lim /(д:,)

также < 0, а это противоречит равенству lim /(х) = f(x0) > 0.

х-*ха

Полученное противоречие доказывает, что существует окрестность точки xQ, в которой f{x) > 0 .

Аналогично, если f(x) непрерывна в точке х0 и fxQ) < 0, то существует окрестность точки х0, в которой fx0) < 0.

Итак, если функция f(x) непрерывна в точке х0, причем fxQ) Ф 0, то существует окрестность точки х0, во всех точках которой f(x) имеет тот же знак, что и в точке х0.

4°. Расширение понятия непрерывности

функции в точке

Равенство

lim/(x) = /(x0), (1.14)

x—txQ

являющееся определением непрерывности функции в точке, можно понимать и в более широком смысле. При этом не обязательно требовать, чтобы функция fx) была определена во всех точках из некоторой окрестности точки xQ. Можно заменить это требование более слабым, а именно: точка х0 принадлежит области определения X функции f(x) и является предельной точкой для X. Например, если множество А'есть отрезок [а, Ь], то концы отрезка принадлежат X и являются предельными точками для X.

Определение. Пусть функция f(x) определена на множестве X и пусть х0 есть точка, принадлежащая множеству X и являющаяся предельной для X. Мы скажем, что f(x) непрерывна в точке х0, если предел lim f{x) существует и равен f(x0).

Часто приходится рассматривать случай, когда функция /(х) задана лишь с одной стороны от точки х0, например, справа: это означает, что /(х) определена на отрезке вида [х0,х,], гдех, > х0. Если в этом случае/(х) непрерывна в точке х0, то говорят о непрерывности /(х) в точке х0 справа. Если/(х) определена слева от х0, то в случае непрерывности/(х) в точке х0 говорят о непрерывности слева.

Впрочем, имеется еще один случай, на который мы хотели бы распространить понятие непрерывности. Это случай, когда функция определена в точке х0, но не определена в близких точках. Примем на этот счет такое

Определение. Точка х0 є X называется изолированной точкой множества X, если существует такой интервал (х0 є, х0 + £■), где є > 0, в котором нет ни одной точки X, кроме самой точки х0.

Нетрудно видеть, что любая точка множества X либо является предельной для X, либо является изолированной точкой множества X. Действительно, если точка х0 не изолированная, то в любой близости от нее найдутся точки из X, отличные от х0, а это и означает, что х0 предельная точка для X.

В дополнение к данному выше определению примем следующее соглашение.

Если функция j(x) определена на множестве X и х0 изолированная точка X, то будем считать, что flx) непрерывна в точке х0.

Ясно, что в этом случае апеллировать к равенству (1.14) мы не можем, поскольку теряет всякий смысл выражение, стоящее в левой части.

В заключение данного параграфа примем такое определение.

Определение. Функция f(x), определенная на множестве X, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке из X.