§ 1.9. теорема о стягивающихся отрезках.

§ 1.9. теорема о стягивающихся отрезках.

 Точные границы числового множества

1°. Для дальнейшего, более углубленного изучения непрерывных функций нам необходимо сделать отступление в сторону и доказать одну теорему, означающую, в известном смысле, непрерывность самого множества действительных чисел.

Определение. Последовательность отрезков называется стягивающейся системой отрезков (рис. 1.11), если выполнены два условия:

1) каждый следующий отрезок содержится в предыдущем,

т.е.

K+iA+i]<=KA](,, = 1'2-");

2) длина отрезка[ап;Ьп] с ростом его номера п стремится

к нулю, т.е. lim(6„ а„) = 0.

h h h

Рис. 1.11

Поскольку числовая прямая R представляется нам непрерывной, не имеющей «пробелов», то интуитивно ясно, что система отрезков, удовлетворяющая условиям 1) и 2), стягивается обязательно к некоторой точке числовой прямой. Дадим более четкую формулировку этого положения.

Теорема 1.5 (о стягивающейся системе отрезков). Для

любой стягивающейся системы отрезков существует точка, притом единственная, принадлежащая всем этим отрезкам.

До к а з а т е л ь с т в о. Последовательность аиа2,... левых концов отрезков является, очевидно, монотонной (неубывающей), поскольку а, <а2 <....Так как при этом все числа аиа2,... не превосходят, например, Ъх, то эта последовательность является также ограниченной. По теореме 1.1 §1.2 существует число а lim ап. Так как при любом и имеем а„ > а,, то и а > а,. Аналогично, из ап > а2, при п = 2, 3,... следует а>а2.Точно так же получим а>аг,а>аЛ и т.д. С другой стороны, так как все члены последовательности ап} удовлетворяют условию ап < 6,, то и а<Ьх; точно так же получима <Ъг, а<Ъъ и т.д. Таким образом, имеем ап <а <Ьп при любом п, т.е. точка а принадлежит всем отрезкам [аП;ЬП]. Остается показать, что других точек, принадлежащих всем [an;bn], не существует.

Предположим, рассуждая от противного, что имеется точка Ь, отличная от а и принадлежащая всем [а„;Ь„]. Тогда имеем, очевидно, b„-an>d,

а Ь

Рис. 1.12

где d расстояние между точками а и b (рис. 1.12). Переходя в этом неравенстве к пределу при л —> оо, получим 0 > d, т.е. d = О, что невозможно, так как точки а и Ъ различны Теорема доказана.

Наглядный смысл теоремы о стягивающейся системе отрезков состоит, как уже отмечалось, в том, что числовая прямая R «не имеет пробелов»: действительно, если бы точки, принадлежащей всем отрезкам системы, не существовало, то это означало бы наличие «пробела» в R

2°. Пусть М ограниченное сверху множество чисел. Любое

число Ъ, такое, что х < Ъ для всех х є М, называется верхней границей множества М.

Теорема 1.6. Если множество Мограничено сверху, то среди всех его верхних границ имеется наименьшая

Доказательство проведем от противного. Допустим, что среди верхних границ множества М нет наименьшей. Пусть b какая-нибудь верхняя граница для М. Рассмотрим любое число а из М Имеем а < Ь. Равенство а = Ъ невозможно, так как это означало бы, что Ь наименьшая из верхних границ множества М. Следовательно, а < b

Разделим отрезок [а, Ь] пополам точкой с. Если с верхняя граница для множества М, то выберем левую половину отрезка. Если же с не является верхней границей, то выберем правую половину. В обоих случаях выбранную половину отрезка [а, Ь] обозначим [о,, Ь{ ]. Итак, правый конец отрезка [а,, 6, ] является верхней границей для М, в самом же отрезке [<з, ,й, ] имеются точки из М. Разделим отрезок [а,, Ьх ] пополам и из двух половин снова выберем такую половину [а2,Ьг], что правее нее нет точек из М, а в самом отрезке[а2,Ь2] точки из Мимеются. Этот процесс можно продолжать неограниченно, в итоге получим стягивающуюся систему отрезков

[a,b],[aAUa2Alтаких, что в любом из этих отрезков имеются точки из М, а правее отрезка точек из М нет. По теореме 1.5 существует точка р, принадлежащая всем отрезкам. Правее точки р нет точек М, так как их нет правее любого отрезка [ап;Ь„]. Таким образом, р -одна из верхних границ. Осталось показать, что р наименьшая верхняя граница.

Предположим, что это не так, и имеется другая верхняя граница /, /< р.Ввиду того, что отрезки [ап;Ьп] стягиваются к р, имеем р = 1шш„(и -> со}. Так как при этом t>a„ (в противном случае на отрезке [ал;6л] не могло бы быть точек из

М), то t > lim an, т.е. / > р Неравенства / < р и / > р противоречат друг другу. Теорема доказана.

Определение. Если множество М ограничено сверху, то наименьшая из его верхних границ называется точной верхней границей множества М

Аналогично определяется нижняя граница и точная нижняя граница множества М. Нижняя граница есть такое число с, что х > с для всех х є М; точная нижняя граница есть наибольшая из всех нижних границ. Если множество М ограничено снизу, то его точная нижняя граница всегда существует это можно доказать по аналогии с теоремой о точной верхней границе, но можно поступить по-другому, заменив множество М на М (меняем знаки у всех чисел из М), тогда нижние границы для А/превратятся в верхние границы для М

Если множество М ограничено и сверху, и снизу (т.е. просто ограничено), то для него существуют обе точные границы верхняя р и нижняя q. Отрезок p,q называют диаметром множества М Это наименьший из всех отрезков, содержащих целиком все множество М

Пр им ер 1.10. Множество М = (0; 1) ограничено; его точной верхней границей является число 1, точной нижней границей -число 0, диаметром является отрезок [0; 1].