9.3. дюрация облигации

9.3. дюрация облигации

В общем виде дюрация определяется по формуле

D=£f,-Cy*/£c,V , (9.1) (=i i=i

где v — множитель дисконтирования по ставке доходности к погашению

г, т.е. v=—-—; С,,С2,—,С — платежи по облигации через моменты 1 + г

времени ti,t2,-,i„Срок гашения T=t„. В отличие от среднего срока облигации при расчете показателя «дюрация» в качестве весов принимаются не платежи, а их дисконтированные величины. Следовательно, при определении дюрации учитывается фактор времени. Таким образом, дюрация это средняя продолжительность платежей.

Поскольку в качестве ставки дисконтирования берется ставка доходности к погашению, то знаменатель — это рыночная цена облигации Р:

Р=1 СУ' = £ ———. (9.2)

,=1 ,=[ (1 + rf

С учетом этого соотношения люрацию облигации можно записать

(9.3)

Здесь С,.(0) — современная стоимость платежа, поступившего в момент времени U. Таким образом, весовыми оэффици нтами в формуле дю-рации являются отношения современных стоимостей каждого платежа

СЛО)

к рыночной цене Р(г), т.е. весовые коэффициенты —'- выражают доР(г)

лю рыночной цены облигации, которая будет получена через /, лет, і — 1,2,..., п. Сумма коэффициентов в формуле (9.3) равна единице:

££ИЩ=_і_£ _!_f_c^=1

Й Р(г) P(r)5 P(r)H(lt,f

Рассмотрим облигацию с периодической выплатой процентов один раз в конце года, погашаемую в конце срока Т. Для такой облигации дюрация определяется по формуле

D = —!=L .—_

P

где g купонная ставка; N номинал облигации; п количество периодов (количество купонных выплат).

Показатель «дюрация» обладает следующим замечательным свойством: облигации, имеющие одинаковую дюрацию, реагируют на изменение рыночной процентной ставки одинаковым образом. В связи с этим инвесторы при формировании портфеля облигаций стремятся включать в портфель облигации с одинаковой дюрацией. Этот метод называется иммунизацией портфеля и позволяет ограничить влияние будущих колебаний рыночной процентной ставки на ожидаемые доходы.

9.4. Связь дюрации с изменением цены облигации

Рассмотрим связь дюрации с относительным изменением цены облигации АР(г)1Р(г) при изменении ставки доходности г.

Предположим, что ставка доходности изменилась на Аг. Тогда стоимость облигации станет равной

/>(/• +Дг) = £ S . (9.4)

/=1 (1 + г + Аг)'1

Если Аг >0, то это означает увеличение процентных ставок, если Аг < 0 уменьшение. Приращение стоимости АР(г) = Р(г + Аг) Р(г) является положительной величиной при Аг < 0 и означает рост стоимости облигации при снижении процентных ставок на рынке. Отрицательное значение величины АР(г) = Р(г + Аг) Р(г) означает падение

цены облигации при увеличении процентных ставок на величину Аг > 0. Такой же смысл имеет знак относительного приращения стои-АР(г) „

мости облигации . Относительное приращение стоимости облигации при изменении процентных ставок на величину Аг равно

AP(r) = P(r + Ar)-P(r)

Р(г) Р(г)

где Р(г) и Р(г + Аг) рассчитываются по формулам (9.2) и (9.4).

Формула (7.4) позволяет получить точную оценку относительного приращения стоимости облигации. Рассмотрим приближенный способ оценки АР(г)

величины , не используя точных вычислений по формуле (9.5).

Считая Аг достаточно малым по абсолютной величине, получим по формуле Тейлора

АР(г) Р(г + Аг)Р(г) « Р'(г) ■ Аг или с учетом членов разложения второго порядка

АР(г) = Р(г + Аг)Р(г) * Р'(г) ■ Аг +1 Р"(г) ■ (Аг)2.

Члены более высокого порядка считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации к изменению про-

Дюрация и показатель выпуклости облигации

107

центных ставок на рынке. Для относительных прира ений цены облигации имеем

АР(г) Р'(г)

— =——Д>(9.6)

Р(г) Р(г)

АР(г) P'(r) I P"(r), 7

или ——К—Ь>+ -L(br2_ (9.7)

Р(г) Р(г) 2 Р(г)

Из (8.2) получим

1 " С

Р'М— T^S'r—^-г

1+i-fi (1+rf

и р»=—Ц-і»,й+і)—

(1 + г)21.Г (1+г)'

Введем число

1.1 Р(г)

которое называется показателем выпуклости облигации. Тогла с учетом формулы (93) и (9.8)

Р'М I_f, с,(°) Р

P(r) 1 +гД ' Р(г) И-г'

W (l+r)2i.i ' Р{г) (ЦГ)! '

Подставим эти выражения в формулы (9.6) и (9.7) и для относительного изменения иены облигации получим

ДР(і-) Ьг

-i^-'-D Г9.9)

Р(г) 1+г

Проанализируем эти выражения. Так как чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок характеризуется величиной

АР(г)

, то из (9.9) следует, что дюрация облигации оценивает чувствиР(г)

тельность цены облигации к изменению временной структуры процентных ставок. Следовательно, дюрацию облигации можно рассматривать как меру процентного риска облигации — чем больше дюрация, тем больше процентный риск облигации. Из формулы (9.10) следует, что, чем меньше С, тем лучше дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменениям ставки доходности. Таким образом, показатель выпуклости облигации можно интерпретировать как показатель того, насколько точно дюрация облигации оценивает велиАР(г)

чину і—.

Р(г)

Таким образом, в момент г = 0 дюрация облигации является мерой ее процентного риска.