9.5. свойства дюрации и показателя выпуклости облигации

9.5. свойства дюрации и показателя выпуклости облигации

Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т, т.е. D<T.

Дюрация облигации без выплаты процентов (чисто дисконтная облигация) равна сроку до ее погашения, т.е. D = T.

Если облигация купонная, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости, т.е. для любых rx < r2 D(rx) > D(r2 ), C(r,) > C(r2 ).

Если все платежи по облигации отсрочить на to лет, не изменяя ее внутренней доходности г, то дюрация облигации увеличится на t0 лет, а

показатель выпуклости увеличится на (t2 + 2tQD +10) лет.

Если до погашения облигации остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности г дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка g, т.е. для любых gi < g2 D(gi) > D(g2), C(gx) > C(g2).

9.6. Стоимость инвестиции в облигацию

Рассмотрим облигацию, по которой через t, ti,..., t„ = T лет от текущего момента времени г = 0 обещают выплатить денежные суммы соответственно С, Сг,..., С„.

Определение. Стоимость инвестиции в облигацию в момент te[0,T] это стоимость потока платежей P(t) по облигации

Сі, Сг,..., С„ в момент t.

Обозначим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки через P(t). Пусть tl,t2,...,tm,tm+l,...,t„ моменты поступления соответственно платежей С,,С2,Ст,Ст+1,С„ и tm<t<t„+i. Тогда P(t) можно представить в виде

Д0=ХСП1 + гГ'*+ t Ck 1 (9.11)

*=1 *=m+l (l + r)k

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию в момент / имеет две составляющие результат реинвестирования поступивших до момента / платежей по облигации:

*=1

и рыночную цену облигации в момент /:

1

Р,= H Ck .

*=m+i (1 + /-)'*~'

Как следует из этих выражений, стоимость инвестиции в момент t=0 это рыночная цена покупки облигации, т.е. Р(0) = Р.

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки получают, исходя из следующих предположений:

все платежи, полученные от облигации до момента t, реинвестируются;

в момент t облигации данного выпуска имеются на рынке. Облигация, купленная / лет назад, может быть продана на рынке по существующей на этот момент времени рыночной цене Р,.

Тогда

P{i) = Rt + Pt. (9.12) Если в каждом периоде действует своя безрисковая ставка rh то

и

*=1

*=m+l (1 + Гк )

Пример. Дана облигация со следующим потоком платежей на момент покупки {t = 0):

Определить стоимость инвестиции в эту облигацию через 3,5 года после покупки для безрисковых процентных ставок, приведенных в таблице:

Результат реинвестирования поступивших до момента / = 3,5 платежей по облигации составляет

2,5

R, = 20(1 + 0,17)2,5 + 20(1 + 0Д6)1'5 + 20(1 + 0,15)0'5 = 76,0486 (д.е.)

Рыночная стоимость облигации через 3,5 года после ее покупки будет

15 15 135

= 119,2231(д.е.)

(1 + 0,15)0'5 (1 + 0,155)1'5 (1 + 0,16)

Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.).

Теперь предположим, что в момент покупки облигации /= 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны г. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев:

временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации;

сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными г, а затем уже не менялись.

Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через Р(г, і), во втором случае -фактической и обозначают через Р(Т, і).

9.7. Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции

Р(г, і) и Р(Т, і) непрерывные возрастающие функции времени:

P(r,t) = P(r)(l + r)', Р(7,0 = Р(гУ(1 + гУ,

С, С

где Р(г) = 1—+ ...+ =—

(1 + г? (1 + г)'"

рыночная цена покупки облигации в момент г = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок.

Существует и притом единственный момент времени /, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой, т.е.

P(7X) = P(r,t*).

Момент времени і* определяется из соотношения

3.Теорема (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации). Пусть D = D(r) дюрация облигации в момент г = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны г. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е.

P(T,D)>P(r,D) (9.13)

для любых значений F. При F Ф г неравенство (9.13) является строгим

P(T,D)>P{r,D).

На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования г = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t первого платежа по облигации).