3.4. дифференциал функции одной переменной.

3.4. дифференциал функции одной переменной.

 Приближенные вычисления

Понятие дифференциала функции. Пусть функция у =Дх), х (а;Ь) дифференцируема в некоторой точке х0 є(я;6), т.е. в точке х0 существует предел lim^*0^ = / (х0). Отсюда следует, что ^х° где ос -х-»*,, Дх Дх

величина бесконечно малая при Дх -> 0, т.е. lima = 0. Из этого

равенства находим ДДх0) =/(х0)Дх + аДх.

Если/(х0) * 0, то слагаемое/(х0)Дх, линейное относительно Дх является бесконечно малым при Дх -> 0, так как Ііт/'С^Дх = 0.

Второе слагаемое аДх в выражении для приращения функции также является бесконечно малым при Дх -> 0, потому что НтаДх = 0.

Однако ит = lim—И— 0. Следовательно, слагаемое аДх есть

бесконечно малое более высокого порядка, чем слагаемое/(х0)Дх. Поэтому говорят, что величина /(х0)Дх составляет главную часть приращения функции Дх) в точке х0.

Определение. Дифференциалом функции у — Дх) в точке х0 называется линейная относительно Дх величина/(х0)Дх, составляющая главную часть приращения функции Дх) в точке х0. Дифференциал функции обозначается аДхЛ ("де эф от икс нулевое") или dy ("де игрек"). Таким образом, dj(x0) =/(х0)Дх.

Заметим, что если/(х0) = 0, то/(х0)Дх = 0, и слагаемое/(х0)Дх не является главной частью приращения ДДх0), так как аДх, вообще говоря, отлично от нуля. Однако в этом случае по определению полагаем аДх0) =/(х0)Дх = 0.

Если данная функция дифференцируема в каждой точке интервала (а;Ь), то пишут аДх) =/(х)Дх или dy = у'Ах.

Пример 2. Найти дифференциал функции у = х. По определению дифференциала имеем dy = dx= (х')Дх = Дх. Итак, дифференциал ах независимой переменной совпадает с её приращением Дх, т.е. dx = Дх. Поэтому его определение можно записать в виде dfix) = f(x)dx или dy = у'dx, т.е. дифференциал функции у = Дх) равен произведению производной этой функции на дифференциал ее аргумента.

Найдем дифференциал сложной функции у = Ди), где и = g(x) По определению дифференциала находим dy = y'xdx = у' u'xdx. Но и dx = du, поэтому dy = ydu. Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала. Следует, однако, заметить, что в последней формуле нельзя заменить du на Аи, так как du * Аи для любой функции и, кроме линейной.

Геометрический смысл дифференциала. Пусть у = Дх) дифференцируемая в точке х0 функция, график которой изображен на рис. 3.4а, М0Ткасательная к графику функции у =Дх) в точке М0 с абсциссой х0. Рассмотрим ординату этой касательной, соответствующую абсциссе х0 + Дх. Из прямоугольного треугольника ДЛО/Т находим NT= M0Mga, но M0N= Ах и tga =/(х0). Поэтому ЛТ = =/(х0)Дх = аДх0). Таким образом, дифференциал функции у = Дх) в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (x0'j\%x0)), соответствующему приращению ее абсциссы х0 на Дх. Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости (см. рис. 3.46).

Рис. 3.46

Дифференциал может быть как меньше приращения функции (см. рис. 3.4а), так и больше (см. рис. 3.46). Однако при достаточно малых приращениях Дх можно принять ДДх0) = df(x0). Этот вывод следует непосредственно из определения дифференциала функции.

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Рассмотрим функцию у = Дх), ее приращение А/Ц,) = J[x0+Ax) Дх0) и дифференциал dpXx0) =/(х0)Дх° в точке х0. Выше было установлено, что при достаточно малых Дх° имеем

ДДх0) = dAx0).

Как правило, вычислять dfix^ значительно проще, чем ДДх0) и поэтому на практике последнюю формулу применяют в приближенных вычислениях. К сожалению при этом мы не имеем оценки погрешности.

Пример 3. Найти приближенное значение приращения функции Дх) = Зх2 -7 при х0 = 2 и Дх°=0,001.

Решение: ДДх,) = 6х0Дх = 0,012. Тогда Дх°+Дх°) = (3(х°)2-7)+6х°Дх0=5+0,012=5,012.