4.4. асимптоты кривой

4.4. асимптоты кривой

Определение. Прямая, имеющая уравнение у = kx + Ь, называется наклонной асимптотой графика функции у = Дх) при х -»е»,

если Иш(Дх) kx b) = 0. Отсюда к = lim^, b = 1іш(Дх) Ах).

Имеет место и обратное: из последних соотношений следует, что прямая у=кх+Ь является наклонной асимптотой графика функции у = Дх). По выведенным формулам вычисляются угловой коэффициент к и начальная ордината b двух асимптот у = kx + b отдельно при х -»-и» и при х -» -оо. Очевидно, что если к = 0, то уравнение асимптоты примет вид у = Ь.

Определение. Асимптота, определяемая уравнением у = Ь, называется горизонтальной асимптотой.

Определение. Прямая, имеющая уравнение х= а, называется вертикальной асимптотой, если ИтДх) = °°.

Для определения вертикальных асимптот следует отыскать те значения х, вблизи которых функция Дх) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода данной функции.

Xі + 1

Пример 9. Найти асимптоты графика функции Дх) = _ 2 • хг + 1

Так как lim — = ±оо, то прямая х = 2 является вертикальной

j-2 х 2 асимптотой. Находим

.. Пх) .. х2 + 1 k=hmJ±J. = Ьт—— = 1,

b = Ит(дх) kx) = limjf—Li x = lim^-Ll =2

_c-.cn jr-.cn І X - і. І *—<" X — L

Общая схема исследования функций и построения графиков

С учетом изложенного выше можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика:

найти область определения функции;

исследовать функцию на четность и нечетность;

исследовать функцию на периодичность

исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;

найти критические точки первого рода;

найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

найти критические точки второго рода;

найти интервалы выпуклости и точки перегиба;

найти асимптоты графика функции;

найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);

построить фафик функции.