5.2. свойства эластичности и эластичность элементарных функций

5.2. свойства эластичности и эластичность элементарных функций

Свойства эластичности:

1. Эластичность безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены величины у и х. Е (by)

= ад-

Е т = « = = $•£ = Е,(у)

у) Жах) Ъу a(dx) by ах у 2. Эластичности взаимно обратных функций взаимно обратные величины:

1_ _ ау х = 1 1

Е&) ~ Еу(х) <= Е*Ь>) ~ ах у dx.y ' Еу(х) •

dy х

Например, эластичность величины спроса по цене обратна элас-

тичности цены по величине спроса

1

E'W ЕМ

du dx

3. Эластичность произведения двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна сумме эластичностей: Ex(uv) = Ех(и) + £(v).

X

d(uv), x _ dx uv

Ex(uv)

' dv)

dx

uv

du x + dv x dx и dx v

= Ex(u)+Ex( v).

4. Эластичность частного двух функций и(х) и v(x), зависящих от одного и того же аргумента х, равна разности эластичностей

d—

f

u] ~v х _ vdu udv xv _ du x dv x 7 = ~dx~ T = —7*—~u = dx'u ' dx'v = E*(») £»•

5. Эластичность суммы двух функций и(х) и v(x) может быть найдена по формуле:

d(u + v) х = dx

du dv dx dx

x _ uEx(u) + vEx(v)

и + v ~~ ТГ~ГТ,

Эластичности элементарных функций:

Эластичность степенной функции у = Xа постоянна и равна показателю степени а: Ех(у?) = а.

„. . dx" х ол"']х

Е(у?) = —■ — = -— = а .

" ' ах ха ха

Эластичность показательной функции у=а* пропорциональна х. £(а*) = х ш(а).

Е(а<) = —j— —-(fx —= х • lna.

XX ' /іг пх qX

ax

dx a'

3. Эластичность линейной функции у = ax+b Elax+b) =

ax

Е(ах+Ь) = - • = .

ах ах + b ах + b

Если график линейной функции имеет отрицательный наклон (д<0), то эластичность функции меняется от нуля в точке у пересечения графиком оси >>до минус бесконечности (-оо) в точке пересечения оси х, проходя через значение (-1) в средней точке. Таким образом, хотя прямая имеет постоянный наклон, ее эластичность зависит не только от наклона, но и от того, в какой точке х мы ее находим (рис. 5.4). Функция с бесконечной эластичностью во всех точках называется совершенно эластичной, с нулевой эластичностью во всех точках совершенно неэластичной.