12.1. показатели экономической динамики
12.1. показатели экономической динамики
Показатели, характеризующие динамику экономического объекта, это абсолютные приросты, темпы роста и прироста.
Если рассматривается зависящая от времени величина A(t), то абсолютный прирост от момента 0 до момента 1 равен АА() = /1(1)а(1)
-4(0), дискретный темп роста л, = дискретный темп прироста
. а(1) а(0) _
а, = л, 1 = ■ Отметим, что в англоязычной литературе
термином "growth rate" ("темп роста") называют обычно показатель а = г) 1, то есть темп прироста в нашей терминологии.
Если темп прироста а неизменен во времени, то динамика показателя A(f) может быть описана как A{i) = /1(0) (1+сс)'.
Если величина A(t) есть непрерывная функция времени, то рост ее с постоянным темпом записывается как A(t) = /1(0) е", где е « 2,72 основание натуральных логарифмов, а X непрерывный темп прироста, который в общем случае рассчитывается как X(t) = -Щу^ или
а; а , НО = -тгт = тВеличина dA(t)=A' dt = A(t)dt дифференциал
A(t) а '
(главная линейная часть приращения) A(t), где At'=A(t) производная функции A(t) по времени. При росте величины A(t) с непрерывA(t * 1)
ным темпом прироста X дискретный темп роста —— равен е
что при малых X близко к (1+Х), то есть к темпу роста при дискретном темпе прироста X.
Рассмотрим величины темпов прироста для сумм и произведений показателей.
Пусть показатель S(t) есть сумма A{t) и B(f), растущих соответственно, с постоянными непрерывными темпами а и (і, причем а>р. Тогда
S{t) = A(t) + B(t) = Афуе" + Я(0)е<" =
Поскольку (р-сс)<0, величина в квадратных скобках стремится к единице, и темп прироста суммы приближается к темпу быстрее растущего составляющего, то есть к а.
Пусть величина P(t) есть произведение A(t) и B(t) с непрерывными темпами прироста аир. В этом случае:
ДО = A(t)B(t) = Афуе'-Вф)-*1 = Р(0)е<а+»', (2)
то есть темп прироста произведения равен сумме темпов прироста сомножителей. Если аирдискретные темпы прироста A{t) и B(t), то
Pit)=A(t)B(t)=A(0)i 1 +а)'Д0)( 1 +р)'=Д0) (1 +а+р+ар)', (3)
При малых аир величина ар пренебрежимо мала, и темп прироста произведения приближенно равен сумме темпов прироста сомножителей. Если же произведение а Р значительно, то темп прироста произведения не может приближенно считаться равным сумме темпов прироста сомножителей, поскольку существенно ее превышает.
Связь объемных и темповых величин легко продемонстрировать на примере производственной функции (это уже сделано в главе 10 для частного случая ПФ Кобба-Дугласа). Пусть Y(t), K(t), L(t) -объемные показатели выпуска, капитала и труда (непрерывные функции времени), a y(t), k(t), /(f) непрерывные темпы их прироста. Объемная ПФ с нейтральным техническим прогрессом (при постоянном темпе последнего, равном у) имеет вид
ПО =ЛШ, МО] в" (4)
Логарифмируя эту зависимость, получаем:
In Y(f) = In Л ДО, АО] + V(5)
Далее дифференцируем по времени:
у, =dm = dm.Km.dm + ^о.ш.що
то есть,
y(t) = a(0 k(t)+(t) /(0+Y, (6)
где a(0 и P(0 эластичности выпуска по капиталу и труду соответственно.
Эта линейная формула характеризует вклад темпов прироста факторов производства в общие темпы прироста дохода, а показатель у характеризует вклад технического прогресса.
Обсуждение Математические методы в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы