13.3. формальное представление игр

13.3. формальное представление игр

Дадим формальное описание перечисленных элементов конфликта. Множество всех игроков, обозначаемое /, в случае конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков. Например, /={1, 2} при игре в орлянку, /={Продавец, Покупатель} в ситуации монополия-монопсония, /={1, 2, п} в случае анализа результатов голосования в парламенте.

Множество стратегий игрока / обозначим через Хг При игре в орлянку каждый игрок располагает двумя стратегиями: Хг={Орея, Решка}; каждый участник голосования имеет выбор на множестве стратегий {За, Против}. В случае взаимодействия на рынке как Продавец, так и Покупатель могут назначать некоторую неотрицательную цену на продаваемый (покупаемый) товар, т.е. множество стратегий каждого из них X: Р. > 0.

В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию х(.е Хр в результате чего складывается набор стратегий х = Ц, х2,... хп}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в Парламенте описывает список {За, За, Против, За ...}, полученный в итоге проведенного голосования.

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку і в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока / и обозначается через Л.(х), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока / называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока Нг

В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. (Данная форма представления конечных игр двух лиц объясняет общее для них название матричные игры.)

Например, в случае игры в орлянку каждый из игроков имеет по две стратегии, именуемые Орел и Решка. Если игроки выбирают одинаковые стратегии, т.е. в случаях, если оба говорят "Орел" или оба говорят "Решка", 1-й игрок выигрывает 1 рубль, а второй игрок проигрывает 1 рубль. В ситуациях, когда оба игрока выбирают различные стратегии, 1-й игрок проигрывает 1 рубль, а 2-й игрок соответственно этот 1 рубль выигрывает.

В итоге матрица выигрышей 1-го игрока Я, выглядит следующим образом:

Стратегии 2-го игрока Орел Решка Стратегии 1-го игрока Орел /1 -II

Решка -1 Ч

Соответственно матрица выигрышей 2-го игрока Н2 имеет вид:

Стратегии 2-го игрока Орел Решка Стратегии 1-го игрока Орел /-1 1

Решка 1 -1/

Для антагонистических игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игр с нулевой суммой), выполняется соотношение Н=-Нг Игра в орлянку, очевидно, является примером такой игры.

Часто для наглядности матрицы выигрышей для обоих игроков совмещают в одну, которая дает полное представление о всей игре:

Стратегии 2-го игрока Орел Решка

Стратегии 1-го игрока Орел /(1,-1) (-1,1)

Решка k-U) (1.-0/

В каждой клетке этой матрицы слева указаны значения выигрыша 1-го игрока, справа значения выигрыша 2-го игрока.

Рассмотрим пример задания матрицы выигрышей для игры с ненулевой суммой, называемой в литературе по теории игр Дилемма Заключенного. Содержание игры следующее: два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаваться, выдав при этом сообщника. В итоге можно получить следующую матрицу "выигрышей" для обоих игроков:

Стратегии 2-го игрока Сознаться Не сознаться Стратегии 1-го игрока Сознаться /(5,5) (0,10)

Не сознаться «10.0) U.D/

Приведем, наконец, пример записи функции выигрыша для бесконечной игры. В случае дуополии каждый из игроков может объявить цену /?, по которой он хотел бы продать некоторое количество товара. При этом предполагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределят свой спрос поровну между фирмами в случае, если они назначили одинаковую цену. Если функцию спроса в зависимости от цены на товар обозначить как d(p), то функция выигрыша 1-й фирмы П,(/7,, р2) будет иметь вид

/>Др,)> если р, < рг, dip,)

/>,-__,если р, = р2.

О, если р, > р2. Аналогично выглядит функция выигрыша 2-й фирмы П2(/>,,р2).