13.6. игры с ненулевой суммой и кооперативные игры

13.6. игры с ненулевой суммой и кооперативные игры

В игре с ненулевой суммой уже становится необязательно, чтобы один из участников выигрывал, а другой проигрывал; напротив, они могут и выигрывать, и проигрывать одновременно. Поскольку интересы игроков теперь не являются полностью противоположными, их поведение становится более разнообразным. Так, например, если в игре с нулевой суммой каждому игроку невыгодно было сообщать другому свою стратегию (это могло уменьшить его выигрыш), то в игре с ненулевой суммой становится желательным как-то координировать свои действия с партнером или каким-либо способом влиять на его действия.

Игры с ненулевой суммой могут быть кооперативными и некооперативными. В некооперативных играх игроки принимают решения независимо друг от друга либо потому, что осуществление соглашения невозможно, либо потому, что оно запрещено правилами игры. Описанная выше игра Дилемма Заключенного представляет пример игры двух лиц с ненулевой суммой, в которой взаимодействие игроков невозможно по условиям игры.

Один из подходов к решению некооперативных игр состоит в определении точек равновесия игры. Понятие равновесия в теории игр шире понятия оптимальности в теории оптимизации и включает последнее в качестве частного случая. В общем случае пара стратегий X, У для Игрока 1 и Игрока 2 называется точкой равновесия по Нэшу, если ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своей стратегии в одиночку, т.е. если

НАХ, Г)< НАХ, Y) для любых Хн Н2(Х, Y) s НАХ, Г) для любых Y.

(Это определение равновесия сохраняется и для игры плиц.) Рассмотрим пример, когда матрица выигрышей игры имеет следующий вид:

(4,1) (0,0) (0,0) (1,4)

Легко видеть, что в данной игре пары стратегий х = (1, 0), у = (1, 0) и х = (0, 1), у = (0, 1) являются равновесными, т.е. Игроку 2 (1) не выгодно отклоняться от 1-й (2-й) стратегии, если Игрок 1 (2) придерживается 1-й (2-й) стратегии. Отметим также, что выигрыши в равновесных точках различны.

Доказано, что для любой конечной некооперативной игры с ненулевой суммой (называемой также биматричной игрой) всегда существует по крайней мере одна равновесная пара смешанных стратегий. В общем случае равновесное решение может быть неединственным, и каждому из них могут соответствовать различные значения выигрыша каждого из игроков.

Кооперативной игрой называется игра с ненулевой суммой, в которой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях, т.е. игроки могут образовывать коалиции. Основная задача в кооперативной игре состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции.

В случае игры двух лиц предполагается, что два игрока не могут воздействовать друг на друга, пока не придут к некоторому соглашению. Таким образом, игра определяется как множество Sb пространстве переменных Л, и п2, представляющее общие выигрыши;

кроме того, заданы два числа Tr Т2, определяющие величины выигрыша, которые каждый из игроков может получить, не вступая в коалицию со своим партнером. Обычно предполагают, что множество S является замкнутым, выпуклым и ограниченным сверху. Точка Тс координатами (TVT2) называется точкой угрозы (см. рис. 13.2).

На множестве возможных выигрышей выделяется множество Парето-оптимальных решений, т.е. множество точек, принадлежащих S, для которых увеличение выигрыша одного из игроков возможно только за счет уменьшения выигрыша его партнера. Очевидно, множество таких точек образует северо-восточная граница множества 5.

Все точки Парето-оптимального множества, находящиеся одновременно выше и правее точки угрозы Т, образуют так называемое переговорное множество. Очевидно, что игрокам нет смысла договариваться относительно решений, не принадлежащих переговорному множеству, либо потому, что положение одного из игроков может быть улучшено при сохранении положения его партнера и можно договариваться о более выгодных решениях, либо потому, что по крайней мере для одного из игроков теряет смысл вступать в коалицию со своим партнером не худших результатов он может достичь и в одиночку.

Наконец, на переговорном множестве выделяется точка решения Нэша N, в которой достигается максимум произведения превышения выигрышей каждого из игроков над платежами, которые могут быть получены без вступления в коалицию:

max (А, 7])(h2 Т2).

В теории игр показано, что если множество возможных платежей S выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то точка Нэша N существует и единственна. Точка Нэша представляет одно из возможных решений кооперативной игры, от которого нет оснований отказываться ни одному из игроков.

Проиллюстрируем введенные понятия на примере игры, известной под названием Семейный спор. Согласно условиям этой игры, семейная пара Муж и Жена каждый вечер решают проблему: как им провести свой досуг. В городке, где они живут, имеется два вида развлечений: Балет и Футбол. У каждого из супругов есть свое любимое зрелище: Жена предпочитает Балет, Муж Футбол. Однако супруги так привязаны друг к другу, что посещение любимого развлечения в одиночку доставляет им совсем не такое удовольствие, как присутствие на них вдвоем, т.е. если Жена идет вечером на Балет с Мужем, она получает максимум удовольствия (скажем, 4 единицы); Муж недолюбливает Балет, но присутствие на нем с Женой скрашивает тягостное времяпровождение (Муж получает 1 ед. удовольствия). История повторяется с точностью до наоборот, когда Жена идет с Мужем на обожаемый им Футбол: Муж получает 4 ед. удовольствия от игры любимой команды и присутствия любимой Жены; Жена получает 1 ед. удовольствия, проведя вечер с Мужем на Футболе. В принципе Муж может сходить на Футбол, а Жена на Балет в одиночку, но отсутствие супруга снижает удовольствие от любимых зрелищ каждый из них получает по 2 ед. удовольствия. И наконец, вечер будет проведен совсем уж без пользы (т.е. супруги получат по 0 ед. удовольствия), если Муж отправится на Балет в то время как Жена будет на стадионе смотреть Футбол.

В итоге матрица выигрышей описанной игры выглядит следующим образом:

Жена Балет Футбол Муж Балет /(4,1) (0,0) Футбол [(2,2 (1,4)/.

Можно показать, что если супруги будут придерживаться различных несогласованных смешанных стратегий, множество возможных выигрышей образует в системе координат значений выигрышей супругов hv А, треугольник ABC с вершинами в точках (0, 0), (1, 4), (4, 1) (рис. "13.3). Линия ВС является множеством Парето-

оптимальных решений: вдоль этой линии рост удовольствия, получаемого Женой, возможен только за счет снижения удовольствия Мужа. Точка Т с координатами (2, 2) является точкой угрозы в этой игре, а "угроза", например, со стороны Жены может звучать буквально следующим образом: "Вместо того, чтобы более 2/3 своего свободного времени проводить на этом Футболе, я буду ходить на Балет (с Мужем или без него не важно) ничего не потеряю." Аналогично может звучать "угроза" Мужа.

В итоге переговорное множество, образуемое точкой угрозы Г, представлено линией ДЕ на Парето-оптимальном множестве решений ВС (рис. 13.3). На линии DE Муж и Жена могут договариваться, как часто они будут бывать вместе на одном из зрелищ; но при этом, во избежание взаимных угроз, ни одному из развлечений они не должны уделять более 2/3 своих свободных вечеров.

Решение Нэша, когда максимально произведение приростов удовольствия Мужа и Жены по сравнению с удовольствием от независимого посещения Футбола и Балета, представлено точкой Л^на рис. 13.3 супруги договариваются половину своего свободного времени проводить вместе на Балете, вторую половину на Футболе.