14.18. общие свойства случайных величин

14.18. общие свойства случайных величин

Независимо от конкретного распределения случайной величины имеют место общие свойства вероятностных распределений. К ним относятся различного рода неравенства, определяющие границы вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а также утверждения, касающиеся свойств достаточно большого числа случайных величин, так называемые законы больших чисел.

14.18.1. Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева дает оценку вероятности попадания произвольной случайной величины с известными средним значением ЩХ] и дисперсией о"2 в заданный интервал вокруг среднего значения. Согласно этому неравенству

1

Р(|Х М[Х]| > ого-) < А V а > 0 или

Va > 0.

а

(21)

Р(|Х М[Х]| < аа) > 1

То есть вероятность попадания случайной величины вне интервала вокруг ее среднего значения, пропорционального среднеквадратичному (стандартному) отклонению а, быстро убывает с увеличением коэффициента пропорциональности (а) и, соответственно, длины этого интервала 2ого.

Таким образом, неравенство Чебышева наглядно демонстрирует значение стандартного отклонения а как характеристики разброса случайной величины вокруг среднего значения.

Например, при а=2 Р(Х М[Х\ > 2а) < '/4, а Р(Х ЩХ\ < 2а) > > 3/4 для любого распределения.

Для нормального распределения:

ХМ[Х1 Х-М[Х

щх

>а) = 0,32<1; Д

2а) = 0,05 < '/4; Р{

За) = 0,003 < '/9; 1

Х М[Х

х-щх

ХМ[Х

<а) = 0,68 >0;

2а) = 0,95 > 3/4;

За) = 0,997 > 8/9.

Пользуясь неравенством Чебышева, можно оценить вероятность тех или иных отклонений от среднего значения, независимо от природы случайной величины.

14.18.2. Законы больших чисел. Теоремы Бернулли, Ляпунова, Чебышева

Основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя предвидеть, какое значение она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний обобщающие характеристики выборок случайных величин практически утрачивают случайный характер. То же верно и в отношении суммы достаточно большого числа случайных величин. При увеличении числа слагаемых в сумме противоположные случайные колебания отдельных величин сглаживаются, и закон распределения суммы приближается при определенных условиях к нормальному распределению. Различные утверждения, относящиеся к этим предельным случаям, носят название законов больших чисел. Первым утверждением такого рода была теорема Бернулли, доказанная им еще в 1713 году.

Теорема Бернулли

При достаточно большом числе независимых испытаний п вероятность того, что сколь угодно малым будет отклонение частоты т/п некоторого события А от вероятности наступления этого события Р (при условии, что она постоянна в каждом испытании), стремится к единице, т.е. является почти достоверным событием:

(22)

Эта теорема имеет важное значение для статистики и эконометрики, обосновывая выбор частоты осуществления некоторого события в качестве оценки вероятности этого события.

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема)

Распределение суммы п произвольно распределенных и взаимно независимых случайных величин при п -» со стремится к нормальному распределению, если вклад отдельных слагаемых в сумму равномерно мал.

Именно эта теорема обосновывает ту огромную роль, которую играет в статистике, эконометрике и во многих других областях знания нормальное распределение. Множество факторов, определяющих тот или иной экономический показатель, как правило, достаточно велико, и при выполнении условий теоремы случайное отклонение этого показателя от среднего значения может быть приближенно описано нормальным распределением.

Теорема Чебышева

При достаточно большом числе п попарно независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями (а2к < С, к = 1,...,л) вероятность того, что сколь угодно мало отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий, стремится к единице:

limProb

X *

л

М[ХХ] * ... + М[Хп]

п

< г

(23)

Ve> 0.

Согласно этой теореме, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин утрачивает характер случайной величины и ведет себя почти как постоянная величина. Последняя теорема имеет особенно важное значение для статистики и эконометрики, обосновывая выбор среднего арифметического выборочных величин в качестве оценки математического ожидания (среднего значения) всей совокупности величин.

Вопросы к главе 14

Приведите примеры случайных событий в экономике. Можно ли дать им вероятностное описание? Какой вид вероятности Вы при этом используете?

Перечислите различные подходы к определению вероятности. Что общего во всех этих подходах? Чем они различаются?

Дайте определение случайной величины. Какова связь между случайными величинами и случайными событиями?

В чем отличие случайной переменной от неслучайной (детерминированной)? Какие виды случайных переменных Вы знаете? Приведите примеры.

Перечислите основные вероятностные характеристики дискретных случайных величин и дайте их определения. Какова формальная (аналитическая) и геометрическая связь между этими характеристиками?

Перечислите основные вероятностные характеристики непрерывных случайных величин и дайте их определения. Какова формальная (аналитическая) и геометрическая связь между этими характеристиками?

Какая из величин больше: РгоЬ(д < X < Ь) или РгоЬ(д <Х<Ь)?

Как рассчитать вероятность попадания дискретных и непрерывных случайных величин в интервал: РгоЪ(а<Х< Ь):

а) с помощью функции распределения;

б) с помощью плотности вероятности для непрерывной случайной величины и с помощью функции вероятности для дискретной случайной величины?

Как можно охарактеризовать среднее значение случайной величины? Дайте определение математического ожидания.

Перечислите основные характеристики разброса случайных величин и дайте их определения. Какова их связь между собой?

Каково различие между вычислением математического ожидания для дискретных и непрерывных случайных величин? Что общего в этих определениях?

Докажите основные свойства математического ожидания, исходя из его определения.

Дайте подробное определение дисперсии для дискретных и непрерывных случайных величин.

Докажите основные свойства дисперсии исходя из ее определения.

Выведите формулу связи дисперсии с математическими ожиданиями случайной величины и ее квадрата.

В чем состоит основная идея законов больших чисел?

В каких случаях применимо неравенство Чебышева?

Сформулируйте теоремы Бернулли, Ляпунова и Чебышева.