19.4. авторегрессионное преобразование

19.4. авторегрессионное преобразование

Важной проблемой при оценивании рефессии является автокорреляция остатков е, которая говорит об отсутствии первоначально предполагавшейся их взаимной независимости. Автокорреляция остатков первого порядка, выявляемая с помощью статистики Дарби-на-Уотсона, говорит о неверной спецификации уравнения либо о наличии неучтенных факторов. Естественно, для её усфанения нужно попытаться выбрать более адекватную формулу зависимости, отыскать и включить важные неучтенные факторы или уточнить период оценивания регрессии. В некоторых случаях, однако, это не даст результата, а отклонения е. просто связаны авторегрессионной зависимостью. Если это авторегрессия первого порядка, то её формула имеет вид е=ре , + и. (р коэффициент авторегрессии, |р|<1), и мы предполагаем, что остатки и. в этой формуле обладают нужными свойствами, в частности взаимно независимы. Оценив р, введем новые переменные /,=у, ру,,,; х'=х( рх._, (это преобразование называется авторегрессионным (АЙ.), или преобразованием Бокса-Дженкинса). Пусть мы оцениваем первоначально формулу линейной регрессии у = а + bxj + е.. Тогда

У) ~ У, РУН = а + Ьх, + е р(о + Ьх., + е ,) = = о(1 р) + Ь(х. рхи) + <?. ре,,, = о(1 p)+bx'.+ur

Если величины и. действительно обладают нужными свойствами, то в линейной регрессионной зависимости у. = о, + Ьх'. + и. автокорреляции остатков и уже не будет, и статистика DW окажется близкой к двум. Коэффициент Ь этой формулы принимается для исходной формулы у = а+Ьх+е непосредственно, а коэффициент о

рассчитывается по формуле а = ^ _' .

Оценки коэффициентов о и Ь нужно сравнить с первоначальными оценками, полученными для расчета отклонений ег Если эти оценки совпадают, то процесс заканчивается; если нет то при новых значениях а и Ь вновь рассчитываются отклонения е. до тех пор, пока оценки а и Ь на двух соседних итерациях не совпадут с требуемой точностью.

В случае, когда остатки «также автокоррелированы, авторегрессионное преобразование может быть применено ещё раз. Это означает использование авторегрессионного преобразования более высокого порядка, которое заключается в оценке коэффициентов авторегрессии соответствующего порядка для отклонений е. и использовании их для построения новых переменных. Такое преобразование вместо AR(l) называется AR(s) если используется авторегрессия порядка s.

О целесообразности применения авторегрессионного преобразования говорит некоррелированность полученных отклонений и.. Однако даже в этом случае истинной причиной первоначальной автокорреляции остатков может быть нелинейность формулы или неучтенный фактор. Мы же, вместо поиска этой причины, ликвидируем её бросающееся в глаза следствие. В этом основной недостаток метода AR и содержательное ограничение для его применения.

Кроме авторегрессионного преобразования, для устранения автокорреляции остатков и уточнения формулы регрессионной зависимости может использоваться метод скользящих средних (Moving Averages, или MA). В этом случае считается, что отклонения от линии регрессии е. описываются как скользящие средние случайных нормально распределенных ошибок е.: предполагается, что

е. = є. + е.е.. +...+ 0є. . (7)

Это формула для преобразования MA q-ro порядка, или MA(q); МА(1), например, имеет вид е = є(. + 6,є.. Параметры 0(., как и в случае авторегрессионного преобразования, могут оцениваться итерационными методами.

Во многих случаях сочетание методов AR и МА позволяет решить проблему автокорреляции остатков даже при небольших sviq. Еще раз повторим, что адекватным такое решение проблемы является лишь в том случае, если автокорреляция остатков имеет собственные внутренние причины, а не вызвана наличием неучтенных (одного или нескольких) факторов.

Методы AR и МА могут использоваться в сочетании с переходом от объемных величин в модели к приростным, для которых статистическая взаимосвязь может быть более точной и явной. Модель, сочетающая все эти подходы, называется моделью ARIMA (Autoreg-ressive Integrated Moving Averages). В общем виде ее формулу можно записать так:

/, = Р,/„, + Р2/,2 + Р,/,,, + є, + Є,єм +...+ Вем, (8)

где {р.} и {в(} неизвестные параметры, и е независимые, одинаково нормально распределенные СВ с нулевым средним. Величины у представляют собой конечные разности порядка d величин у, а модель обозначается как ARIMA(p,d,q).

Эффективность преобразований AR и МА для устранения автокорреляции остатков продемонстрируем на примере. Нами была оценена зависимость величины реального чистого экспорта RNX для экономики США за 1965 1990 гг. от показателей реального ВНП (GNP), его прироста AGNP, реального валютного курса ER и его прироста AER. Формула получилась следующей (RNX, GNP в млрд. долларов; ER в \% к базовому значению):

RNX= 339,0 0,038 G/v7>-Q,77AGNP 2,15ER + 2,80д£Л (9)

(34,9) (0,005) (0,048) (0,24) (0,35) (в скобках приведены стандартные ошибки) /Р=0,90; DW=,2.

Значение DW=,Y2 говорит о наличии некоторой положительной автокорреляции остатков. Использование преобразования AR() позволяет существенно улучшить положение; получаем уравнение

RNX= 323,3 0,035G/v7>0,155Д<Ж/>2,15AER + 2,05д£Л (10)

(67,2) (0,014) (0,035) (0,40) (0,31) (в скобках приведены стандартные ошибки) R2 = 0,94; DW= 1,71.

Это уравнение приемлемо по всем параметрам и статистическим характеристикам. Единственное, что имеет смысл сделать в нем, это замена переменных ER и ER на одну переменную ER(-). Это можно сделать, поскольку абсолютные величины коэффициентов при ER и ER почти одинаковы. В таком случае можно сделать преобразование (-aER+aAER) = (-aER + a(ER ER(-))=-aER(-l), и мы можем использовать это равенство для сокращения числа объясняющих переменных. Включив снова преобразование AR(l) (для которого коэффициент авторегрессии соседних отклонений е. получился равен р=0,71, со стандартной ошибкой 0,16), получаем уравнение регрессии:

RNX = 318,6 0,035-GJVP QA55-AGNP 2,09Щ-1) (11)

(54,9) (0,013) (0,033) (0,28) (в скобках приведены стандартные ошибки) R2 = 0,94; DW= 1,79.

Данное уравнение регрессии приемлемо по всем параметрам и может рассматриваться как конечный результат нашего исследования. Все коэффициенты в нем статистически значимы: даже наименьшая из /-статистик (у коэффициента при переменной GNP) близка к трем. Уравнение регрессии объясняет 94\% дисперсии зависимой переменной, а близкая к двум статистика Дарбина-Уотсона не позволяет отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков первого порядка. Добавление какой-либо новой объясняющей переменной уже практически не сможет улучшить качества уравнения регрессии.

Качество уравнения показано на рис. 19.1, где фактические и рассчитанные по уравнению регрессии величины очень близки друг к другу, а отклонения от уравнения регрессии выглядят случайными и независимыми друг от друга.

Добавление преобразования МА(1) позволяет повысить величину DWro 1,95, но не дает значимой оценки коэффициента сглаживания 8 (его /-статистика равна 0,31), поэтому в данном случае включать это преобразование нецелесообразно.

Преобразования AR, МА и модель ARIMA полезно использовать в тех случаях, когда уже ясен круг объясняющих переменных и обший вид оцениваемой формулы, но в то же время остается существенная автокорреляция остатков. В качестве примера укажем оценивание производственных функций, где объясняющими переменными служат используемые объемы или темпы прироста труда и капитала, а требуемой формулой является, например, производственная функция Кобба-Дугласа или CES.

Вопросы к главе 19

В каких случаях возникают трудности использования множественной линейной регрессии в моделировании? В чем реальная ситуация может не соответствовать предпосылкам модели?

Что такое гомоскедастичность и гетероскедастичность? Каковы результаты использования линейной регрессионной модели в условиях каждой из них? Что можно сказать при этом о несмещенности, состоятельности и эффективности оценок?

В чем сущность взвешенного МНК? Какие показатели взвешиваются при его использовании и как могут выбираться весовые коэффициенты?

Что такое системы одновременных уравнений в экономическом моделировании? Приведите примеры таких систем.

В чем различие структурной и приведенной форм экономических моделей? В чем смысл перехода от структурной к приведенной форме в эконометрике?

Как оценить параметры приведенной формы экономической модели? В каких случаях по ним можно рассчитать параметры структурной формы? В чем состоит проблема идентификации в эконометрике и в каких случаях она разрешима?

В чем заключается двухшаговый МНК? В каких случаях он применяется?

В чем заключается трехшаговый МНК? В каких случаях он применяется?

В чем заключается проблема автокорреляции остатков и как она проявляется?

Что такое авторегрессионное преобразование и в каких случаях оно применяется?

П.В чем сущность преобразования остатков методом скользящих

средних? В каких случаях оно применяется? 12. В чем смысл модели ARIMA1 Какими могут быть результаты ее

применения?