Глава двойственность в теории потребительского выбора

Глава двойственность в теории потребительского выбора

Двоякий подход к проблеме порождает, однако, как ряд важных тождеств (рассмотренных ниже в параграфе 7.4), так и (и в связи с этими тождествами) новые для нас понятия и взаимосвязи, характеризующие выбор потребителя и оказывающиеся весьма полезными не только в теоретическом, но и в прикладном аспекте.

7.2. Неявная (косвенная) функция полезности и ее свойства

7.1. Постановка проблемы

Нам уже известно, что, выбирая «лучшее из доступного», рациональный потребитель фактически ведет себя так, как если бы он решал задачу максимизации функции полезности при заданном бюджетном ограничении М*.

Математический вид этой задачи таков:

max U(X, У) при РХХ + PYY < М*.

Пусть решением этой задачи является набор (X*, Y*), и его полезность есть U* = U(X*, Y*).

Теперь рассмотрим двойственную данной задачу минимизации расходов потребителя, необходимых для достижения того же самого уровня полезности £/*:

min Е = РХХ + PYY при U{X Y*) > if.

Как показывает рис. 7.1, решением обеих задач должен быть один и тот же набор (X*, Y*).

7.2.1. Определение косвенной функции полезности

Косвенная функция полезности представляет максимальную полезность как функцию цен и дохода:

V(PX, PY, М) = max ЩХ, Y) (7.1) при РХХ + PYY = М,

где V (Рх, PY, М) есть косвенная функция полезности. Возможность такого представления дана самим решением задачи потребительского выбора: поскольку потребитель стремится максимизировать полезность при заданном бюджетном ограничении, максимальная полезность, достигаемая в точке {X , Y ) оптимального набора, косвенно зависит от детерминант этого ограничения, т.е. от цен и дохода. Такое косвенное выражение полезности достигается подстановкой X* и У*, т.е. функций маршаллианского спроса, полученных при решении прямой задачи потребительского выбора, в целевую функцию последней. Иными словами: U(XPX, PY, М), YPX, PY, М)) =V(PX, PY, M). (7.2) Поясним сказанное на примере функции полезности Кобба—

Дугласа, скажем, вида U(X, У) = 4x7. Нам уже известен вид функций маршаллианского спроса для потребителя с предпочтениями, описываемыми такой функцией полезности:

2РХ ' 2PY

М 2 М

= V(PX, PY, М).

М

2Р*;

2Ру ) l^Py

Подставив эти значения в прямую функцию полезности, получаем:

ЩХ, У) = Х*У2 =

7.2.2. Некоторые свойства косвенной функции полезности

Данная функция не возрастает по ценам:

если Рх, PY > Р°, Р°, то У(РХ, Ру, М) < V(P$, Р°, М). (7.3) Действительно, бюджетное множество для бюджетной линии с более низкими ценами включает в себя множество для бюджетной линии с более высокими ценами, вследствие чего касание с границей второго множества будет никак не выше касания с границей первого.

Данная функция строго возрастает по доходу:

если М, > М0, то У(РХ, Ру, My) > V(PX, PY, М0), (7.4)

что также ясно из соотношения соответствующих бюджетных множеств.

Это свойство графически иллюстрирует рис.7.2.

ветствии со свойством 1 косвенной функции отображаемые ими уровни полезности нарастают в направлении не от начала координат, а к нему. Эти своеобразные кривые безразличия представлены на рис. 7.3. Они строятся в пространстве товарных цен и именуются поэтому «ценовыми кривыми безразличия». Каждая из этих линий показывает все цены, при которых У(РХ, PY, М) = к, где к — некая константа. Над этой линией находится так называемое пространство более низкого контура, включающее все цены, при которых У(РХ, Ру, М) < к.

5. Наконец, косвенная функция полезности непрерывна по ценам и доходу .{при принятии значений последних положительными).

7.2.3. Применимость косвенной функции полезности

Понятие косвенной функции полезности можно применять для изучения влияния налогов и субсидий на уровень полезности, достигаемый индивидом в потреблении. В частности, с помощью этого понятия успешно иллюстрируется так называемый принцип преимущества аккордного обложения, согласно которому налоги на совокупный доход (т.е. аккордные налоги на доход) снижают данный уровень полезности в меньшей степени, нежели налоги на единицу потребления (потоварные налоги), приносящие такую же сумму сбора в бюджет. Обратимся, например, к рассмотренной выше функции полезности Кобба—Дугласа

вида U(X, Y) — ыХУ, для которой нами была выведена косвенная функция полезности вида 7.3. Функция расходов и ее свойства

U(X, Y) = *2У2 =

2Ру ,

= V(PX, PY. М). (7.6)

Предположим, что индивид тратит на два товара, Хи Y, 2 долл. в неделю при долларовых ценах этих товаров в размере Рх = 0,25 и Ру= 1. Подстановка этих величин в косвенную функцию полезности (7.6) дает уровень максимальной полезности, изначально достигаемый индивидом: он равен 2. (Ясно, что такой же результат мы получили бы, подставив в прямую функцию полезности находимые при решении задачи на максимизацию полезности индивида при заданном бюджетном ограничении координаты оптимального потребительского набора: X* = 4, Y* = 1.) Допустим, далее, что правительство вводит потоварный налог на потребление Хв размере / = 0,25 долл., что означает удвоение цены этого товара и сокращение его оптимально выбираемого количества с четырех единиц до двух. Индекс уровня косвенной полезности потребления нового оптимального набора, получаемый подстановкой в функцию (7.6), равен примерно 1,41. В то же время при аккордном налоге, приносящем такой же сбор в бюджет, т.е. Т = 0,5 долл., уменьшающем недельный доход, затрачиваемый на указанные товары, до 1,5 долл., данный индекс составил бы 1,5, что означало бы меньшее снижение полезности для потребителя.

Далее, зная косвенную функцию полезности, можно относительно легко, т.е. не решая задачи на максимизацию полезности, найти маршаллианский спрос на товар. Достаточно применить тождество Роя1, согласно которому этот спрос есть

дУ/дРх

х = -Wim(7"7)

И наконец, благодаря наличию у косвенной функции полезности свойства 2, имеется обратимость данной функции и функции расходов потребителя, также расширяющая, как мы увидим чуть ниже, инструментарий решения задачи потребительского выбора.

7.3.1. Определение функции расходов

Из рис. 7.2 ясно, что, ввиду строгого возрастания по доходу косвенной функции полезности, можно построить функцию, обратную ей, выразив доход как функцию от полезности при заданных ценах. Это и будет функция расходов Е(РХ, PY, U), показывающая минимальные расходы, которые должен осуществить потребитель, чтобы при заданных ценах достичь данного уровня полезности.

м л

Если известна косвенная функция полезности, то для получения функции расходов достаточно выразить из нее М через цены и полезность U, переобозначив М на Е. Продолжая рассмотрение нашего примера, получаем:

і і

2 М

= V(PX, Ру, М),

l^Py

U(X, Y) = XW* откуда

Е(РХ, Р¥, U) = 2U^PX, Ру.

Если же косвенная функция полезности нам неизвестна, то вид функции расходов находится путем решения двойственной задачи потребительского выбора:

min, Е(РХ, Ру, U) = РХХ+ PyY (7.8)

при ЩХ, Y)> U. Решением этой задачи являются функции компенсированного (или хиксианского) спроса на товары X и К а их подстановка в целевую функцию двойственной задачи (7.8) дает нам функцию расходов.

7.3.2. Некоторые свойства функции расходов

1. Данная функция растет по ценам: если Рх, Ру > Р$, Р$, то Е(РХ, PY, U) > Е(Р$, Р$, V). (7.9)

Если количества товаров в оптимальном потребительском наборе строго положительны, рост цены отдельного товара, как таковой, уменьшает максимально достижимый уровень полезности, и для достижения потребителем исходного уровня полезности его расходы следует увеличить.

2. Функция расходов линейно однородна по ценам:

E(tPx, tPY, tU) = tE(Px, PY, if) при любом t > 0. (7.10) Если цены товаров растут в одинаковой пропорции, то расходы, требуемые для достижения данного целевого уровня полезности, следует увеличить в той же пропорции.

0

3. Функция расходов выпукла от оси цен (рис. 7.3), т.е. растет

по цене убывающим темпом, что обусловлено замещением более

дорогого товара более дешевыми в оптимальном наборе (т.е. наборе заданной полезности и минимальной стоимости) по мере

подорожания одного из товаров. Поясним это с помощью рис. 7.4,

на котором приведен график зависимости функции расходов от

цены товара А-при неизменности цены товара К и уровня полезности.

Предположим, что при ценах Р$ и Р$ индивид выбирает набор (Х0, Y0) и что Рх растет при неизменности PY. Если бы индивида вынудили потреблять все тот же набор (Х0, Y0), то уровень требуемых для этого расходов был бы описан линейной зависимостью, графически отображаемой прямой с наклоном Х0, проходящей через точку А. Ведь изначально требуемые расходы есть Е = Р$Х0 + + PYY0, и единственный член, изменяющийся в данном уравнении, — это Рх. Индивид, вынужденный потреблять набор (Х0, У0) при цене Рх, перемещается в точку С, где его расходы равны первоначальной величине, РХХ0 + />"К0, плюс изменение вследствие изменения цены товара Х(РХРу)Х0. Однако, если потребитель способен скорректировать структуру своего потребления в соответствии с изменением относительных цен, он обычно это делает, переключаясь на набор, предпочитаемый исходному набору

Поэтому, чтобы остаться на уровне благосостояния (полезности), не превышающем исходный, ему потребуется меньше расходов, чем в точке С. Стало быть, минимальные расходы, необходимые для достижения целевой полезности при ценах (Р, Ру), меньше, чем расходы, представленные точкой С. Обобщая сказанное, можно утверждать, что расходы, представленные касательной к кривой, отображающей функцию расходов индивида, отражают завышенную оценку его расходов при всех ценах товара X, кроме Рх.

Функция расходов непрерывна по ценам, при принятии их значений положительными. Хотя свойство 4, вообще говоря, не вытекает с необходимостью из свойства 3, мы принимаем его как удобную техническую предпосылку, благодаря которой функция расходов оказывается дважды дифференцируемой по ценам. Это, в свою очередь, обеспечивает наличие у нее свойства 5.

Зная функцию расходов, можно относительно легко, т.е. не решая двойственную задачу, найти хиксианский спрос на товар. Достаточно применить лемму Шепарда, согласно которой этот спрос (для товара X) есть

дЕ(Рх, Ру, U)

НХ(РХ, Ру, U) = *э// • (7.11)

7.3.3. Лемма Шепарда и свойства функций компенсированного спроса

Лемма Шепарда является закономерным результатом приведенного нами выше рассуждения, согласно которому график зависимости функции расходов от цены одного из товаров везде лежит либо под касательной к любой его точке, либо на ней. Если при этом, как мы уже предположили, частная производная функции расходов по цене товара существует при всех положительных значениях этой цены, т.е. изгиб кривой является гладким, то наклон в любой точке кривой, описывающей функцию расходов, есть не что иное, как оптимальный спрос индивида в этой точке. Покажем это в общем виде, считая, что нам заданы вектор цен Р° и соответствующий ему минимизирующий расходы потребителя товарный набор q°. Тогда, по определению,

E(J>°, U) = 1/**°. (7Л2) #

Пусть изменяется, в то время как все остальные цены и полезность остаются неизменными. В ответ на такое компенсированное изменение индивид обычно изменяет количества всех товаров в своем потребительском наборе. Продифференцировав равенство (7.12), получаем:

dE(P°, U) = q)dPj + I/J4,-. (7.13)

Поскольку мы приняли полезность неизменной, изменения dqt должны удовлетворять следующему условию:

dU = l.Uydq, = Q. (7Л4)

Но из условия первого порядка задачи минимизации расходов следует, что Pf = XUj, где X — это величина, обратная предельной полезности дохода.

Поэтому мы имеем:

ZUtdq, = XLlfdq, = 0;

і і

ZPfdq, = 0. і

Следовательно, хотя потребитель, как правило, изменяет структуру своего потребления в ответ на малое изменение цены, такая корректировка оказывает незначительное влияние на минимальные расходы, требуемые для достижения данной целевой полезности, и потому, при неизменности цен остальных товаров и полезности, равенство (7.13) принимает вид:

dE(V°, U) = qjdPj, (7.15). откуда следует, что количество товара равно частной производной функции расходов по цене данного товара в точке исходного выбора. Поскольку данная частная производная есть функция от Р° и U, это количество товара q® также выступает функцией указанных переменных и потому есть функция компенсированного (хиксианского) спроса на данный товар:

Э£-(Р°, U)/dPj = Яу(Р°, U) для всех / (7.16)

Проведенный анализ позволяет нам вывести некоторые свойства функции компенсированного спроса, вытекающие из оптимизирующего поведения потребителя и выступающие просто следствиями свойств функции расходов, а именно ее однородности и выпуклости от оси цен (вогнутости).

Во-первых, функция компенсированного спроса однородна в нулевой степени по ценам всех товаров:

Hj (6Р, U) = Hj (Р, U) (7.17) для любого положительного скаляра 6. Это объясняется однородностью в первой степени функции расходов, из которой следует однородность в нулевой степени ее частной производной.

Во-вторых, как нам уже известно, график данной функции всегда имеет отрицательный наклон в силу противонаправлен-ности действия эффекта замещения и изменения собственной цены товара, т.е. отрицательности знака прямого эффекта замещения. Последняя есть отражение вогнутости функции расходов.

В-третьих, перекрестные эффекты замещения всегда симметричны. Это имеет строгое математическое объяснение, основанное на лемме Шепарда, присущем функции расходов свойстве непрерывности и применении так называемой теоремы Янга, согласно которой при наличии у некой функции F(yh ур непрерывных вторых производных перекрестные частные производные этой функции равны друг другу:

2НУ/, yj) I У і У3 = 2Г(Уі, у;) I yj УіИсходя из предпосылки о непрерывности вторых производных функции расходов по ценам, согласно теореме Янга и лемме Шепарда, по которой Л-(Р, U) = Е(Р, U)/ />,, получаем:

Ни= 2Е/ Pt Р = 2Е/ Pj Р,= Hj, (7.18)

Иными словами, при выборе потребителем набора из двух товаров, хлеба и вина, изменение спроса на хлеб под воздействием изменения цены вина равно изменению спроса на вино под воздействием изменения цены хлеба. Значит, если известен Щ, то известен и //,,.

7.3.4. Кривые компенсированного спроса и их взаимосвязь с кривыми некомпенсированного спроса

Кривая компенсированного (или хиксианского) спроса есть графическое отображение в двухмерном пространстве функции компенсированного спроса. Она показывает взаимосвязь цены товара и его покупаемого количества при предпосылке о неизменности цены сопряженного товара и уровня полезности (реального дохода), т.е. строится на основе эффекта замещения. При снижении цены товара X, например, номинальный доход потребителя фактически уменьшается, что препятствует увеличению полезности. Иными словами, воздействие изменения цены на покупательную способность компенсируется таким образом, чтобы индивид остался на прежней кривой безразличия. В противоположность этому кривая некомпенсированного (или маршалли-анского) спроса строится на основе действия и эффекта замещения, и эффекта реального дохода, вследствие чего при движении вдоль такой кривой фактический уровень получаемой потребителем полезности, как правило, изменяется. Взаимосвязь подобных кривых спроса показана на рис. 7.5.

наличия у потребителя дохода лишь в денежной форме. Поэтому при ценах выше Рх кривой компенсированного спроса соответствуют более высокие уровни дохода потребителя и, соответственно, более высокие величины спроса на X, чем кривой некомпенсированного спроса, в то время как при ценах ниже Рх дело обстоит наоборот. В итоге наклон кривой hx круче наклона кривой dx. (В том, что данный вариант соотношения кривых компенсированного и некомпенсированного спроса не является единственно возможным, читателю следует убедиться самостоятельно, в ходе выполнения заданий к главам 3, 4 и 7 сопровождающего настоящий учебник пособия.)

I 1 1 ! 1 !—>V

о а, а* Х0 Х2 Хк2

При цене Рх кривые компенсированного (hx) и некомпенсированного (dx) спроса пересекаются, так как при обоих подходах количество спроса на товар X одинаково и равно Х0. При данной цене доход потребителя, при обоих способах выведения кривых спроса, как раз достаточен, чтобы достичь некоего (одного и того же) уровня полезности. На данном рисунке представлено соотношение указанных кривых для случая нормального товара X и 7.4. Двойственность, важные тождества и уравнение Слуцкого

7.4.1. Двойственность и некоторые важные тождества

Тождества, приведенные ниже, вытекают из самой двойственной задачи потребительского выбора, сформулированной в начале настоящей главы.

Минимальные расходы, необходимые для достижения полезности V(PX, Ру, АР), есть М (т.е. первоначальный доход потребителя в прямой задаче):

* • Е(РХ, Ру, V(PX, Ру, М)) = М. (7.19)

Максимум полезности, достижимый при доходе Е(РХ, Pr, U), есть U:

V(PX, Ру, ЕІР^ Ру, U)) ^ U. (7.20)

Маршаллианский спрос при доходе Мтождественно равен хик-сианскому спросу при заданном уровне полезности V(PX, PY, М):

Х(РХ, Ру, М) = Н(РХ, Ру, V(PX, Ру, М)). (7.21)

Спрос по Хиксу при полезности Uтождественно равен спросу по Маршаллу при доходе Е(РХ, PY, U):

Н(РХ, Ру, V) = Х(РХ, Ру, Е(РХ, Ру, U)). (7.22)

7.4.2. Тождество Роя и его выведение

7.4.3. Выведение уравнения Слуцкого

Если Х(РХ, Ру, М) — функция маршаллианского спроса на X, то

дУ(рх, Р¥, M) ЭР

Х(РХ, р¥,м)= -dVipxtprjAfy, (7.23)

дМ

при Рх > О, Р¥ > О, М > 0.

Приведем краткий вариант доказательства данного тождества, являющийся следствием вышеприведенных тождеств и леммы Шепарда.

Пусть набор (X*,Y*) приносит потребителю максимальную полезность U* при ценах Рх, Р¥ и доходе М. Из приведенного выше тождества (3) мы знаем, что

х{рх, Ру, м*) ее #</>;, Ру, и*).

Из тождества (2) (равенства (7.20)) мы знаем, что if = V(PX, PY, е(РХ, Р¥, If)).

Согласно этому тождеству, каковы бы ни были цены, если дать потребителю минимальный доход для достижения при этих ценах полезности U*, то максимальная полезность, которой он сможет достичь, и будет U*.

Поскольку это тождество, можно продифференцировать его по Рх, получив:

ъу(р*х, />;, м*) дУ(рх, р;, м*) эе(рх, Ру, и')

эрх ш др~х -<7-24>

Произведя перестановку членов и соединив полученное выражение с тождеством (3) (равенством (7.21)), с учетом леммы Шепарда, т.е. того, что

Н(РХ, Ру, U*) =

дополучаем

х(р;, р;, м*) = щр;, р;, и') ^

эу(рх, р;, м*) _ зе(р;, р;, и*) эрх

дрх " _ эу(р;, р;, м*)' (7.25) ъм

Поскольку это тождество справедливо для всех Рх, Ру, M и поскольку X* = Х(РХ, Ру, М"), результат доказан.

Использование вышеприведенных тождеств (1)—(4) (равенств (7.19)-(7.22)) позволяет строго и в общей форме вывести уже известное читателю из глав 3 и 6 уравнение Слуцкого (полученное нами на основе логических рассуждений и графических построений).

Базой для такого выведения послужит тождество (4) (равенство (7.22)), гласящее, что хиксианский спрос на г'-й товар при полезности U тождественно равен маршаллианскому спросу на него при доходе Е(Р, U):

ЩР, Щ^Х^РЕІР, U)).

Продифференцировав данное тождество по цене PJt получаем:

(7.26)

Щ = dXj^ дХі дЕ dPj dPj + дЕ dPj

Применим лемму Шепарда, по которой Н} - а также

тождество (1) (равенство (7.19)) и тождество (2) (равенство (7.20)) и осуществим соответствующие подстановки в выражение (7.26), заменив в нем при этом Xj на Х} = Hj (поскольку Щ и одновредХ, дНі менно перенеся член —влево, а член —— вправо. І Іолучаем dPj dPj

уравнение Слуцкого в общей форме:

(7.27)

dPj dPj JdM'

Если і = j, это — уравнение Слуцкого для прямых эффектов, если / j — для перекрестных.

Как видим, им установлена связь хиксианского и маршаллианского спроса на /'-й товар, согласно которой изменение последнего есть не что иное, как изменение первого, скорректированное на действие эффекта реального дохода.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Почему введение потоварного налога на потребление некоего товара более вредно для благосостояния потребителя, чем введение аккордного налога, приносящего такой же сбор в бюджет? Приведите графическую аргументацию.

Как объяснить однородность в нулевой степени, присущую любой функции компенсированного спроса, без ссылок на свойства функции расходов?

Можно ли утверждать, что:

а) при движении вдоль кривой некомпенсированного (маршаллианского) спроса фактический уровень получаемой потребителем полезности всегда изменяется?

б) наклоны кривых компенсированного и некомпенсированного спроса всегда различаются?

Каковы возможные преимущества использования кривых компенсированного спроса вместо кривых некомпенсированного спроса в:

а) теории потребительского выбора?

б) практике анализа потребительского спроса?

В чем состоит, по вашему мнению, экономический смысл:

а) леммы Шепарда?

б) уравнения Слуцкого?

Каково, по вашему мнению, значение концепции двойственности в теории потребительского выбора?