Глава 2 выведение функции индивидуального спроса на основе функции полезности

Глава 2 выведение функции индивидуального спроса на основе функции полезности

2.1. Вид И СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ИНДИВИДУАЛЬНОГО СПРОСА

Как было показано в главе 1, решив задачу на нахождение максимума функции полезности при данном бюджетном ограничении, можно найти количества товаров Хи Y, характеризующие оптимальный выбор потребителя, выразив их через цены этих товаров (Рхи Ру) и доход М. Эти количества (X* и Y*, характеризующие координаты точки оптимума потребителя) отражают спрос индивида на указанные товары. Данный спрос зависит от параметров, определяющих положение точки оптимума, т.е. точки касания кривой безразличия и бюджетной линии, а оно зависит от функции полезности (отображаемой формой и расположением кривой безразличия) и от положения бюджетной линии. Последнее же, в свою очередь, зависит от дохода (М) и цен (Рх и PY).

Поэтому математически, для мира двух товаров, можно записать:

Ґ = D(PX, Ру, М, U);

Г= D(PY, Рх, М, U), а в общем виде для п товаров при данной функции полезности: Х;= Dn(Px, Р2,..., Рп, М). Обратим внимание, что Хи Yколичества (величины) спроса, a D функция спроса. При данной функции полезности для товара X: X* = D(PX, Ру, М).

Рассматриваемой функции спроса присуще свойство однородности в нулевой степени. Оно состоит в том, что умножение цен товаров и дохода на любую положительную константу не изменит оптимальных количеств Хм К, на которые предъявляет спрос потребитель. (Функция f(X, Y) однородна в степени к, если f(tX, tY) = tkf(X, Y) для любого / > 0. Если к = 0, функция однородна в нулевой степени и умножение всех ее аргументов на t > 0 не изменит значения функции; если к = 1, то функция однородна в первой степени и, скажем, удвоение всех ее аргументов удвоит значение функции.) Однородность функции спроса непосредственный результат предпосылки о том, что потребитель максимизирует свою полезность; это очевидно из уравнения бюджетной линии:

Рх ■ X + Ру Y = М тождественно tPx ■ X + tPY ■ Y = tM, а следовательно,

X* = D(PX, Pr, M) = D(tPx, tPY, tM) для любого / > 0.

Определить характер функциональной зависимости D, т.е. вывести функцию спроса, можно, проведя сравнительно-статический анализ, т.е. проследив изменения спроса на товар Апри изменении цен и дохода. По сути дела, функции спроса не что иное, как кратчайший способ зафиксировать результаты такого анализа. (Он именуется сравнительным, потому что мы сопоставляем параметры оптимумов потребителя до и после изменения одной из указанных переменных, статическим же — потому что сам процесс установления нового оптимума как таковой не исследуется.) Этот анализ позволяет вывести две пары кривых: «доход потребление» и кривая Энгеля; «цена потребление» и кривая спроса. Кривые, образующие каждую из пар, соотносительны друг с другом: они строятся по одинаковым данным и дают одну и ту же информацию в отношении спроса на товар X, но в разных формах.

2.2. Построение кривых «доход — потребление» и кривых энгеля для разных типов экономических благ

Сначала проследим изменения оптимума потребителя, обусловленные изменениями имеющегося в его распоряжении дохода, считая остальные детерминанты спроса на товар X(предпочтения, Рх и Ру) неизменными. На этой основе мы построим пары кривых «доход потребление» и Энгеля. Кривые в такой паре взаимосвязаны: первая кривая служит базой для построения второй.

2.2.1. Кривые «доход — потребление» и типология экономических благ: нормальные товары и товары низшей категории

На рис. 2.1а, б, в построены кривые «доход потребление» (кривые II), отражающие два типа изменения спроса на товар с изменением дохода: однонаправленное и в противоположном направлении. Эти кривые иллюстрируют различие между товарами нормальными и низшей категории (инфериорными). К нормальным относятся товары, спрос на которые изменяется в направлении изменения дохода. К товарам низшей категории, или инфериорным, относятся те, спрос на которые изменяется в направлении, противоположном изменению дохода1.

Данное различие можно сформулировать, используя понятие предельной склонности к потреблению. Предельная склонность к потреблению — это предельное изменение количества спроса на товар при изменении дохода потребителя.

Для нормального товара предельная склонность к потреблению (обозначаемая аббревиатурой МРСот английского выра.дХ Л

жения marginal propensity to consume) положительна 1^7^ > u Ь для

товара низшей категории — отрицательна |д^7 < Граница

между этими типами товаров квазилинейность предпочтений.

*Х п В этом случае —— и.

дМ

1 Подчеркнем, что термин «инфериорность» применительно к тому или иному благу отнюдь не означает его некачественность. Подобный неверный перевод слова «inferior» базируется на том, что в английском языке кактаковом слову «inferior» может противопоставляться слово « superior*, и в таком контексте первое действительно означает «худший», а второе — «лучший». В экономической же теории значение слова «inferior», как мы уже показали, совершенно иное и никакого противопоставления «худших» благ «лучшим» в себе не несет.

Кривая «доход потребление» показывает влияние изменения дохода потребителя на структуру оптимального набора. Она дает информацию о характере изменения количества спроса и по товару X, и по товару Y. Если оба товара нормальные, наклон кривой положителен (рис. 2.1а). Если же один из товаров инфе-риорный, то другой непременно должен быть нормальным. При

2.2.2.1. Случай гомотетичных предпочтений

На рис. 2.2 кривая II («доход — потребление») и кривая gg (кривая Энгеля) — лучи из начала координат. Это характерно для гомотетичных предпочтений. Положительный наклон кривой Энгеля для товара Л'говорит о том, что этот товар — нормальный.

Положительный наклон кривой «доход — потребление» говорит о том, что нормальными являются оба товара — и X и Y.

этом, поскольку при росте дохода потребитель покупает меньше инфериорного товара, на покупку дополнительных единиц сопряженного с ним нормального товара должно идти более 100\% прироста дохода. В этом случае наклон кривой «доход — потребление» отрицателен (рис. 2.16, в).

В случае квазилинейных предпочтений предельная склонность . к потреблению по товару X равна нулю, и кривая «доход — потребление» для X— вертикальная линия.

2.2.2. Кривые «доход — потребление» и кривые Энгеля для нормальных товаров

Кривую «доход — потребление» можно использовать и для выяснения влияния изменений дохода на потребление любого отдельного товара в оптимальном наборе. Такое влияние показывает кривая Энгеля.

Кривая Энгеля на рис. 2.2 соответствует обратному виду функции, М(Х). Но часто ее удобнее строить для функции, отображающей прямую зависимость количества спроса на товар от дохода, Х(М). Для графика такой прямой функции Энгеля предельная склонность к потреблению геометрически есть наклон,

который при гомотетичных предпочтениях в отношении товара X дХ

неизменен: -г— = const. аМ

Это означает, что количество спроса на товар врастет тем же темпом, что и доход. Иными словами, доли обоих товаров в доходе потребителя постоянны. « Богатея», он не меняет структуры потребления, а лишь увеличивает его объем.

Разумеется, такие предпочтения отражают далеко не весь спектр вкусов потребителей. Они выступают своего рода границей между двумя другими подгруппами нормальных товаров.

2.2.2.2. Кривые Энгеля для необходимых благ и предметов роскоши

Первая из подгрупп — необходимые блага. Количество спроса на них растет медленнее дохода. Вторая подгруппа — предметы роскоши. Количество спроса на них растет быстрее дохода. Это различие показано кривыми 0G„ec и 0Glux на рис. 2.3. Изменение наклона кривой Энгеля говорит о характере изменения предельной склонности к потреблению по данному товару. Геометрически МРС — наклон касательной к любой точке кривой Энгеля, отображенной как Х(М). Для необходимых благ МРС, будучи величиной положительной, убывает с ростом дохода. Для предметов роскоши МРС, будучи величиной положительной, возрастает с ростом дохода (рис. 2.3).

представить и с помощью коэффициента эластичности спроса по доходу.

Этот коэффициент известен вам из вводного курса микроэкономики. По структуре коэффициент эластичности спроса по доходу — не что иное, как отношение предельной склонности к потреблению к средней. Под средней склонностью к потреблению, АРС, понимается величина Х/М, геометрически соответствующая тангенсу угла наклона луча, соединяющего с началом координат любую точку кривой Энгеля (отображенной как Х(М)). Действительно:

м = МРС дХ Iх Є* АРС дМ/ М'

Для нормальных товаров эластичность спроса по доходу положительна: tx > 0.

При этом для необходимых благ она меньше единицы, а для предметов роскоши — больше. Для товаров, предпочтения в отношении которых гомотетичны, она равна 1: є" = 1.

2.2.3. Кривые «доход — потребление» и кривые Энгеля для товаров низшей категории

Для товаров низшей категории обе кривых — «доход — потребление» и Энгеля — нисходящи (рис. 2.4а). Это соответствует отрицательности величин, предельной склонности к потреблению и эластичности спроса по доходу.

«Нормальность» или «инфериорность» не являются внутренне присущими товару свойствами. Они обосновываются характером предпочтений индивида. Последние отражаются в специфической форме кривых безразличия, соответствующих его функции полезности. Эта форма обусловливает конкретное положение точки нового оптимума при изменении дохода и, соответственно, положительный или отрицательный сдвиг в потреблении X.

Данное разграничение товаров не является абсолютным. Отнесение товара к одной из указанных категорий зависит и от уровня дохода. Один и тот же товар, выступая в качестве нормального при низком уровне дохода, может быть инфериорным при уровне достаточно высоком. Такое изменение характера предпочтений индивида в отношении товара X, начиная с уровня дохода выше М2, показано на рис. 2.46.

Условием подобного изменения во вкусах индивида является возможность его переключения на другой товар, замещающий в потреблении данный. Стало быть, у товара должны существовать заменители.

Например, гамбургер для индивида с низким или средним уровнем дохода является нормальным товаром. При переходе же индивида в категорию потребителей с высоким уровнем дохода он станет товаром низшей категории. Индивид предпочтет «переключиться» на бифштексы из вырезки.

2.2.4. Кривые расходов Энгеля для разных типов экономических благ

Для практических целей важнее бывает прослеживать динамику потребления не отдельных товаров, а их агрегированных групп (продовольственных, непродовольственных, необходимых благ, предметов роскоши и пр.). Ввиду отсутствия единицы измерения количества спроса по такой группе вместо кривой Энгеля часто строят кривую расходов Энгеля.

Эта кривая — график зависимости расходов на данную товарную группу от дохода покупателя. Если X— отдельный товар, расходы на него есть РХХ. Если же X представляет товарную группу Х, Xg, то соответствующие расходы составят РХХХ + Р2Х2 +... +

Кривая расходов Энгеля тоже наглядно демонстрирует различие между нормальными необходимыми благами, предметами роскоши и товарами низшей категории (рис. 2.5). Расходы на X— предмет роскоши (рис. 2.5в) с ростом дохода неуклонно приближаются к лучу под 45° из начала координат. (На данном луче расходы на товар X равны всему получаемому индивидом доходу.)

Расходы на Хнеобходимое благо (рис. 2.5а) растут, отклоняясь от этого луча. Это означает, что они составляют все меньшую долю получаемого дохода. Расходы же на А' товар низшей категории (рис. 2.56) с ростом дохода убывают.

2.3. Построение кривых «цена — потребление»

и кривых спроса для разных типов экономических благ

Теперь проследим изменения оптимума потребителя, обусловленные изменениями цены данного товара, Рх. Остальные детерминанты спроса на товар X (предпочтения, цены прочих товаров и доход) будем считать неизменными. На этой основе мы построим кривую «цена — потребление» и кривую спроса. Кривые в данной паре также взаимосвязаны: первая может служить базой для построения второй.

2.3.1. Построение кривой «цена — потребление» и кривой спроса для обычных товаров

Пусть цена товара Xснижается с Рхао Р. При прочих равных условиях это вызывает поворот бюджетной линии из положения 1 в положение 2 и смещение оптимума потребителя из точки Ех в точку Е2 (рис. 2.6).

Линия ЕЕ, соединяющая все подобные оптимальные комбинации X и Y, полученные при изменении Рх, именуется кривой «цена — потребление». Как видно из рис. 2.6, она является базой для построения кривой индивидуального спроса DD, отображающей обратную функцию, Рх = Р(Х). Кривая DD воплощает ту же информацию об оптимальных выборах потребителя, что и кривая ЕЕ, но в другой системе координат. По горизонтальной оси по-прежнему откладывается количество спроса на X, но по вертикальной оси — цена товара X.

Данная кривая спроса выражает отрицательную зависимость между ценой товара и количеством (величиной) спроса на него. Это — так называемый закон спроса. Он соблюдается в отношении товаров, именуемых обычными. Математически для таких товаров:

' £-<«■

Кривая «цена — потребление» (ЕЕ), подобно кривой «доход — потребление», дает информацию о характере изменения количества спроса по обоим товарам.

На рис. 2.6 показан случай, когда с падением цены товара X

Э Y

количество спроса на товар К растет: ~^г< 0. Товар Y выступает по отношению к товару X общим комплементом, и кривая «цена — потребление» имеет положительный наклон.

Однако при сохранении отрицательности наклона кривой спроса на X, Yможет выступать по отношению к Хи общим субститутом, и независимым товаром.

В первом из случаев изменения цены товара X и количества

спроса на Г однонаправленные ~> 0. Кривая «цена потребление» имеет положительный наклон. Во втором случае количество спроса на Y не реагирует на изменения цены товара X.

= 0. Кривая «цена — потребление» горизонтальна.

с) Ру

2.3.2. Построение кривой «цена — потребление» и кривой спроса для товара Гиффена

На рис. 2.7, напротив, кривая «цена — потребление» имеет отрицательный наклон, а кривая спроса — положительный. Это характеризует X как необычный товар. Для него наклон кривой спроса, отображающей прямую функцию спроса, есть величина

положительная: —— > 0.

дРх

На этом рисунке кривая «цена — потребление» построена на основе карты кривых безразличия явно негомотетичных и сужающихся слева. Данная карта аналогична отображенной на рис. 2.4а при выведении кривой «доход — потребление» для инфериорных предпочтении в отношении товара X. Товар, для которого положительный наклон кривой спроса сочетается с инфериорностью, именуется товаром Гиффена. Однако, как мы увидим в ходе дальнейшего изучения теории потребительского выбора, необычность (положительность) наклона графика функции спроса индивида на тот или иной товар может и не сочетаться с инфериорностью данного товара.

Разграничение между обычными и необычными товарами можно представить и с помощью коэффициента ценовой эластичности спроса.

Этот коэффициент также известен вам из вводного курса микроэкономики. Применительно к индивидуальному спросу на товар X коэффициент ценовой эластичности характеризует чувствительность к изменению собственной цены товара.

По своей структуре данный коэффициент аналогичен коэффициенту эластичности спроса по доходу. Он представляет собой отношение предельной чувствительности спроса к средней цене -или в математической форме:

4 дРх/Р'

Для обычного товара эластичность спроса по цене — величина отрицательная:

а для необычного и, в частности, товара Гиффена — положительная:

А > о.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ >

Объясните, в чем сходны и чем различаются:

а) кривые «доход — потребление» и Кривые Энгеля для нормальных товаров и инфериорных товаров;

б) кривые Энгеля и кривые индивидуального спроса;

в) кривая Энгеля и кривая расходов Энгеля.

Объясните, в чем сходны и чем различаются:

а) кривые «цена — потребление» и кривые «доход — потребление»;

б) кривая спроса для обычного товара и для товара Гиффена.

а. Возможно ли, чтобы при выборе лишь из двух товаров оба оказались инфериорными?

б. Верно ли, что для x — нормального блага наклон кривой «доход — потребление» всегда положителен?

а. Каков вид кривых «доход — потребление» и Энгеля для товара, предпочтения в отношении которого квазилинейны? Приведите примеры таких товаров.

б. Каков вид кривых «доход — потребление» и Энгеля для товара, предпочтения в отношении которого гомотетичны? Приведите примеры таких товаров.

в. Постройте кривые Энгеля на основе кривых «доход — потребление», представленных нарис. 2.1а, б, в. Соотнесите вид

полученных кривых с теми, которые представлены на рис. 2.3.

Как может выглядеть кривая «цена — потребление» в случае:

а) x — обычного блага и у — субститута для x;

б) x — инфериорного блага и К — комплемента для А?

Верно ли, что для x — инфериорного блага:

а) кривая «цена — потребление» всегда имеет отрицательный

наклон?

б) у всегда оказывается комплементом?